【数学】新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县2024-2025学年高二上学期10月期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县2024-2025学年高二上学期10月期中考试试题（解析版）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】因为，且，，所以存在唯一的实数使得，所以，解方程组得.
故选：A.
2. 图中的直线的斜率分别为，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，，
由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，
.
故选：D.
3. 三角形的三个顶点为，则的中线的长为（ ）
A. 3B. 5C. 9D. 25
【答案】B
【解析】设边的中点为D，则D点坐标为，即，
故的中线的长为，
故选：B.
4. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】由题得，
所以.所以或.
故选：D.
5. 三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，且，如图，
.
故选：D.
6. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，解得，故直线交点为，
直线的斜率，故垂直于它的直线斜率，
故所求直线方程为，整理得到.
故选：B.
7. 经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A. B.
C.D.
【答案】C
【解析】由直线l在x轴上的截距的取值范围为，
l过点斜率，
l过点的斜率，

故直线l的斜率k的取值范围为.
故选：C.
8. 已知直线与圆交于，两点，当取得最小值时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆，圆心为，半径，
，由得，过定点.

设与轴交于点，当最小时，，，，
则，.
因为，所以.
在中，，在中，，
所以.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
将直线l方程转化为，因为l经过第一、二、四象限，
所以即，，.
对D，若，则，，满足题意，故D错误.
故选：ABC.
10. 圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段的中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. P为圆上一动点，则P到直线的距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由与得圆心分别为，，半径为，
则，故两圆相交，
两圆方程作差可得，所以公共弦所在直线方程为，故A正确；
对于B，由选项A可知，
又直线的中垂线经过点，
所以的中垂线方程为，即，故B错误；
对于C，圆心到直线的距离，圆的半径，
所以由弦长公式得，故C正确；
对于D，由C知：圆心到直线的距离为，
圆的半径，则P到直线的距离的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知曲线（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为________.
【答案】
【解析】点关于平面对称的点的坐标为.
13. 已知平行四边形的三个顶点A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是______．（写出一个符合题意的坐标即可）
【答案】（0，4）或（10，0）或（－6，－4）
【解析】设D（x，y），
若四边形ABCD是平行四边形，则，，所以，
即，解得，此时点D（0，4）．
若四边形ABDC是平行四边形，则，，所以，
即，解得，此时点D（10，0）．
若四边形ADBC是平行四边形，则，，所以，
即，解得，此时点D（－6，－4）．
14. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______.

【答案】
【解析】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

在正三棱柱中，设，则，
则，
故，，
设异面直线与所成角为，则，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设．
（1）若，求k；
（2）若，求k．
解：（1）由题设，
若，则，可得；
（2）若，则，
所以.
16. 已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．
（Ⅰ）求直线的方程．
（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：（），解得，则点的坐标为．
由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直，
可设所求直线的方程为．
将点坐标代入得，解得．
故所求直线的方程为．
（Ⅱ）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
17. 如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）建立如图所示：空间直角坐标系，
则
所以,
所以点到直线的距离.
（2）,
设平面的法向量为：，
则，
取，则，
所以点到平面的距离为.
18. 已知直线经过点，圆.
（1）若圆关于直线对称，求直线的方程；
（2）若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程.
解：（1）由可得圆的圆心，半径，
因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心，
又直线l过点，所以直线l斜率为，
由点斜式方程可得，即.
故直线l方程为.
（2）由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，
即，
因为直线l与直线关于点对称，所以，
又因为点关于点对称的点，直线过点，
则由点斜式方程可得，即.
故直线方程为.
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（1）证明：如图所示：取中点为,连接，
在中，分别为的中点，
所以为的中位线，所以,,
在正方形中，为中点，所以,,
所以,
所以四边形为平行四边形，
所以,
又因为：平面，平面,
所以平面.

（2）解：有题意知：两两垂直，建立如图所示：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系,
不妨设，则，
所以，
设平面的法向量为：，
则，
取，则，
易知平面的一个法向量为：，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.