2026年新高考数学专题复习学案 69.截面问题研究

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1.三点中有两点共面
例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．
思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.
解析：作法：①.由于共面，在底面内，过作直线，与于，显然，此时即在侧面内，又在欲求截面内，而该截面与侧面又交于点，根据公理1，截面与侧面交于.
同理，过作直线与的延长线交于，此时即在侧面内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面交于.
②在侧面内，连接交于.
③在侧面内，连接交于.
④连接.则五边形EFHGK即为所求的截面．
练习1.（三点两两共面）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．
解析：作法：（1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F.
（2）连接EF交AB于T，交AD于S.
（3）连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面．
例2.（三点所在的棱两两异面）
如图，长方体中，分别为上三点，求过这三点的截面.
分析：此题的难点在于三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.
解：如图，作交与，则确定一个平面，转化为例1的情形.
连接,交于点；连接交延长线于；连接交延长线于；连接交于.则为所作截面.
二．截面的的画法小结
1.确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．
（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．
2.作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
三．正方体中的基本截面类型
三．习题演练
习题1.如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，求该多边形的周长.
解析：如图，延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，因为正方体的棱长为12，所以．因为∥，所以，
所以，所以，同理可得，所以，
所以，，
所以，．易知，所以
，又，解得，所以，
，
则该多边形的周长为.
习题2.如图，在正方体中，，为棱的中点，
为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
解析：如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，连接，易证，则五边形为所求截面.
因为，所以，
则，故该截面的周长是
. 故答案为：
习题3．一块正方体形木料如图所示，棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ）
A．
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为
D．以为球心，为半径的球面与截面的交线长为
解析：对于A，是正方体的对角面，则四边形为矩形，，由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，因此，A正确；
对于B，过点作直线平行于交分别于，连接，显然，则四边形为过点及直线的正方体的截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误；
对于C，由选项B得，则，，因此截面矩形面积，C正确；
对于D，过作于，由平面，平面，得，而平面，则平面，因此为以为球心，为半径的球面被平面所截小圆圆心， 球面与截面的交线为以为圆心，为半径的半圆弧，显然，，因此交线长为，D正确.
故选：ACD
习题4．在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为__________；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为_________
解析：如图，在正方体中，
平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可证，四边形是平行四边形，，，又，，
，，则为的中点，，同理，所以截面是边长为的菱形，其对角线，，
故截面面积．设平面与底面ABCD所成锐二面角为，因为截面在底面的射影为正方形，所以.
故答案为：；.