2026年新高考数学专题复习学案 9. 新高考背景下的切线问题研究

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1. 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：
①求出切点的坐标；
②求出函数在点处的导数
③得切线方程
求过点A处切线方程方法如下：
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线.
3.若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同（公切线），则等价于的图象在点处的切线：与的图象在点处的切线：重合.进一步等价于下列方程组有解：.
4.若动点为函数图象上任一点，直线与图象相离，则到距离的最小值为函数图象在点处的切线与平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线的距离.
5.与切线有关的新定义问题
（1）隔离曲线：一般来说，“隔离函数”通常有两类：一类是函数与的图像在集合上有一个公共点，称之为“接触隔离”；另一类是函数与的图像在集合上没有公共点，称之为“非接触隔离”.

（2）自公切线
...
二．典例分析
★1. 与切线有关的新定义问题
例1.（浙江省杭州市25届高三一模） 若函数y=f(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=f(x)的图象的一对“同切点”.
(1)判断函数f1(x)=sinx与f2(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由;
(2)若a∈R，求证：函数g(x)=tanx−x+a在区间(−π2,π2)上有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设n∈N∗，函数ℎ(x)=tanx−x+nπ在(−π2,π2)内的零点为xn，t∈(−π2,π2)，求证：“存在s∈(2π,+∞)，使得点(s,sins)与(t,sint)是函数y=sinx的图象的一对“同切点”的充要条件是“t是数列{xn}中的项”.
解析：(1)显然直线y=1切y=sinx的图象于点(π2,1)，(5π2,1)，直线y=1是y=sinx的图像的一条“自公切线”，故函数f1(x)的图象存在“自公切线”;对于f2(x)=lnx，f'2(x)=1x(x>0)是减函数，故f2(x)在不同点处的切线斜率不同，所以函数f2(x)的图象不存在“自公切线”.
(2)①g'(x)=1cs2x−1=sin2xcs2x=tan2x≥0恒成立，故y=g(x)在(−π2,π2)上单调递增，可得y=g(x)至多有一个零点，令g1(x)=sinx−(x−a)csx(x∈[−π2,π2])，由y=g1(x)的图像是连续的曲线，且g1(−π2)g1(π2)=−10；当时，φ'x