2026年新高考数学专题复习学案 73.空间曲率问题与应用

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空间曲率新定义问题“火”于2021年八省联考，这是第一次大范围的新高考适应性考试，也是近年新定义的“开山鼻祖”，颇具代表性.因此，这里的引言就以该题为例，逐次展开.
1.定义：（2021年教育部八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
二．典例分析
1．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ）
A．B．C．D．
解析：如图，连接，，设，连接，则平面，
取的中点，连接，，

则由正四棱锥的结构特征可知，所以为侧面与底面所成的角，
设，则，在中，，所以，又，所以，
所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为，
故正四棱锥在顶点处的曲率为.故选：D.
2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A．B．C．D．
解析：正八面体每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点，
因此，该正八面体的总曲率为.故选：B.
3．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（ ）
A．直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
C．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
D．若四面体在点处的离散曲率为，则平面
解析：A项，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故选项A错误；
B项，若，则菱形为正方形，因为平面，所以，，所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，选项B正确；
C项，若，则，又，，所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，选项C错误；
D项，在四面体中，，，，所以，所以四面体在点处的离散曲率为，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱为正方体，结合正方体的结构特征可知平面，选项D正确．
故选：BD
4．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体的一个顶点，定义多面体在点P处的离散曲率为，其中（，2，……，k，）为多面体的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以P为公共点的面.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点S在底面的射影O为的中点.若该四棱锥在S处的离散曲率，则直线与平面所成角的正弦值为 .

解析：由题意可知， 四棱锥的四个侧面三角形全等，则，因为四棱锥在处的离散曲率，则，，设，则，又，则，而，所以，解得，
作于，则为的中点，因为是正三角形，所以，
作于，则，且，则，
连接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，则平面，所以即是直线与平面所成角，则.
故答案为：.

5．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．
①求直线与直线所成角的余弦值；
②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
解析：（1）根据离散曲率的定义得，
，，
，所以
（2）①因为平面，平面，所以，且，，平面,所以平面，平面,所以，
所以，所以，所以，如图，将三棱锥补成正方体，
因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角，而是等边三角形，所以，，所以直线与直线所成角的余弦值为；过点作交AB于，连结，
因为平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，
依题意可得，，，，所以,，设，，，在中，，
又，所以，所以，所以，
解得：或（舍）故.
6．定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
(1)求四棱锥在顶点处的离散曲率；
(2)求四棱锥内切球的表面积；
(3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．
解析：（1）因为平面，平面，所以，因为，则．因为平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，即，由离散曲率的定义得．
（2）因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，则，因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，设四棱锥的表面积为，
则
．设四棱锥的内切球的半径为，则，所以，所以四棱锥内切球的表面积．
（3）如图，过点作交于点，连接，因为平面，所以平面，则为直线与平面所成的角．易知，当与重合时，；
当与不重合时，设，在中，由余弦定理得
因为，所以，所以，则，
所以．
当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合），
由，得，即，所以的最大值为，
所以直线与平面所成角的取值范围为．
三．习题
1．阅读数学材料：“为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等.
(1)若，求直四棱柱在顶点处的离散曲率.
(2)若四面体在点处的离散曲率为，证明平面.
(3)若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，求与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）若，则菱形为正方形，因为平面平面，所以，所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为．
（2）在四面体中，，所以，
所以四面体在点处的离散曲率为，
解得，
易知，所以，所以，
所以直四棱柱为正方体，
因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，同理，
又平面，所以平面．
（3）直四棱柱在顶点处的离散曲率为，
则，即是等边三角形， 则菱形中，，
平面，面，则，
又，平面，所以平面，
设，则即为与平面的所成角，．