2026年新高考数学专题复习学案 23.指数均值与对数均值不等式

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1．对数均值不等式：两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立．
证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.
（2）再证：……②
不等式②（）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用.
2.对数不等式链
；
.
3.指数均值不等式.若，则.
证明：（方法1.双变量消元直接证明）
欲证，两边同除以，即证，即证，即证
令即证不等式当时恒成立.
设，∴
而，即，∴，∴在上是减函数，又∴恒成立，得证.
接着证明右边的不等式，同样设等价于.令，则，两边同时除以得1）.
设
，再求（因为），所以在上单调递增.由于，因为在上单调递增，所以在上单调递增，1），即
0，所以，也就是.
综上，不等式得证.
（方法2.对数均值不等式转化）
设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即
把代入.
综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式.
二．典例分析
例1.(2011年辽宁卷)已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明：
解：（2），由
，同除以得，
要证，只需证；
只需证；
根据对数平均不等式，故原命题得证.
例2.（2010天津卷）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果，且，证明：.
解析：（2）等价于，故可得：
，由对数均值不等式可得：，故.
小结：由上例可知，形如：或者型，对数式单独放，在构造对数均值不等式的方向上均是可行的.同时，一些指数结构通过指对转化，亦可转化为上面两个形式，利用对均不等式可得偏移.
例3.（2021新高考1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正实数，且，证明：.
解析：证明同证法2．以下证明．不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，即证．记，则.记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．由得，所以，
即．
例4.（2022全国甲卷）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：.
解析：（2）此时，有两个解，且.
此时，，两式相除，可得：.
于是，欲证只需证明：（对数均值不等式）.易证！
例5．（2022新高考2卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
解析：（1）略.
（2）由当时，，得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，在不等式中，
令,可得当时,,即,故当时,不等式成立.
当时，在区间内恒成立，即在区间内恒成立，满足题意.
当，即,则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.
（3）由于
，接下来
令，，可得，.
由上述不等式，，进一步求和可得：
，
即．
例6.（2021年全国乙卷）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明:．
解析：（2）令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．当时，，所以，即，所以．当时，，同理可证得．
综上所述，当且时，，即．
例8．（湖北省七市州2025届高三联考）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到.
（1）求；
（2）记直线的斜率为.
（i）设的面积分别为，证明：；
（ii）若，求证：.
解析：（1）由题意在处的切线方程为；
令，可得，即.由可知在处的切线方程为；令可得，即；所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以.
（2）（i）设，由题意不同时为0，不妨令且；
.由（1）可知；
则.要证，即证，即证；令，即证，再令，即证，即证.构造函数，则，所以在上单调递增；即.所以得证.即.
（ii）由（i）可知，，所以.因为，得；即，即.
得，因为，所以；所以.所以.即.当时，有，即；所以，从而.
例9.（2024年四川省预赛）已知为正实数,若曲线与椭圆交于、两个不同的点,求证:直线的斜率.
解析：设，其中.注意到对数不等式:若,则. 取，得.
①将和
相减，得②.再将和相加，得③.注意到:时，由知，结合①②③知：
，解得.
三.习题演练
1.已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）如果函数恰有两个不同的极值点，，求证：．
解析：（2）根据条件，，则
-2．因为是极值点，所以，两式相减得．所证不等式等价于，设两边同除以得．令，．所证不等式只需证明：
．设，则．易证，所以，因此在上单调递减，．所以原不等式成立，即．
2.已知函数，其中.
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
解：（1）的取值范围是.
(2)，对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即
所以，令，
令，所以在上递增.
因为，所以在上恒成立. 所以在上恒成立.
所以在上递增. ，所以当时，，所以的取值范围是.