2026年新高考数学专题复习学案 90.解析几何中的双切线问题

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圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 对于圆的双切线，我的建议就是多推导，遇到最值就往切线长上转化！
如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：
1.；.
2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.
3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.
4.平分.
5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.
6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：
.对使用均值不等式可得最小值.
图1
7.假设，圆的方程为（）
则切点弦的方程为：.
例1.（2023年新高考1卷） 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
解析：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，
则，
，即为钝角，所以.
例2.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而
，当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
情境2.圆锥曲线的双切线
1.知识要点.如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设.
第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；
第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③；
第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.
常见案例1.彭赛列闭合
例3.（2021全国甲卷20）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于两点，且. 已知点，且⨀与相切.
（1）求，⨀的方程；
（2）设是上的三个点，直线均与⨀相切，判断直线与⨀的位置关系，并说明理由.
解：（1）设的方程为，由对称性可知，，并假设点在第一象限，点在第四象限，故将代入抛物线方程解得：，又因为，故，代入点坐标可得：，故的方程为.再由直线与⨀相切可得⨀：.
（2）直线与⨀相切.理由如下：假设直线的斜率都存在，设，则设的方程为：，整理可得：，由直线与⨀相切得：，整理得：①同理：的方程为，由与⨀相切，即②. 由①，②可知分别是下列方程的两根，③.
若，代入③式得：，与是三个不重合的点矛盾，故，则④,
最后，由于直线的方程为，那么圆心到直线的距离为，代入④式得：.故直线与⨀相切.
当直线斜率有一条不存在时，根据⨀的位置关系可知，此时切线要么为，要么为.不妨假设当切线为时，那么此时切线为，不合题意.假设当切线为时，可取两点坐标为，设切线的方程为，其与⨀相切，故.即此时，切线，过坐标原点与⨀相切，即.这样：的方程为：，与关于轴对称，如图1所示，根据对称性可知与⨀相切，综上所述，与⨀相切.

常见案例2：椭圆双切线与蒙日圆
曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆.
证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是
. 由，得
由其判别式的值为0，得
因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以
由此，得
例4.已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.
解析：（1）椭圆的标准方程为.
（2）（i）设点.
①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程.
由，消去，得.
.令，整理得.设直线，的斜率分别为，.∴.
又，∴.∴，即为圆的直径，∴.
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为.
∴，，也满足.综上，有.
（ii）设点，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由，消去，得.
.
令，整理得.则
∴直线的方程为.
化简可得，即.经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足.同理，可得直线的方程为. ∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.由，消去，得.∴，.
∴
.又点到直线的距离.∴.
令，.则.
又，∴的面积的取值范围为.
案例3.阿基米德三角形（抛物线）
如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:
结论1.直线过抛物线的焦点.
证明：参见下面的例1.
结论2.直线的方程为.
证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.
进一步，设：，则.
则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.
上述结论的逆向也成立，即：（凌晨讲数学）
结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.
结论4..
证明：由结论3，，.那么.
结论5..
证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.
结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.（凌晨讲数学）
例5 .（2021年全国乙卷）知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
解析：（1）．
（2）（方法1）
抛物线的方程为,即,对该函数求导得,设点、、,直线的方程为,即,即,同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，点到直线的距离为，所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
（方法2）同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．．P点在圆M上，则
．故当时的面积最大，最大值为．
例6.（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：（凌晨讲数学）
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
解析：（1）设,,则．又因为，所以.
故，整理得.设，同理得.
,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，
于是
.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时，因此，四边形的面积为或.
三．习题演练
1.（广东省广州市2025届高三二模）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.
2.（江苏省南京市2025届高三一模）设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线.
（1）已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系；
（2）已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为.
①证明：是、的等比中项；
②若点在圆上，求的最大值.
3.（武汉市2025届高三二月调考）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
（i）设点的横坐标为，求的取值范围；
（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．
（附：双曲线以点为切点的切线方程为）
参考答案
1.解析：（1）的方程为.
（2）由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.则的面积.设切线与圆的切点为，则.在中，，在中，，则，
当时，，即的面积的最小值为3.此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.得点的坐标为，所以直线的方程为，直线的方程为.
2.【详解】（1）圆心到的距离，
即直线与圆相切，所以.
（2）解法一：①证明：由，知的准线方程为，.
设.因为，且与的公共点为，所以是曲线在点处的切线，其方程为，即，则（*），
同理，，则（**），由（*）（**）得直线的方程为，即.由，消去整理得，则.又因为，则.又因为，所以，故是、的等比中项.
②由①知，，则
.因为，所以，
则，又因为，则，
从而可得，解得，当时等号成立，
故的最大值为.
解法2：①证明：由题意知，则.设.
因为，且与的公共点为，所以是曲线在点处的切线，所以，即（*）同理（**）
联立（*）（**）得，即，
所以，注意到，因此，所以是的等比中项.
②解：由①知，，设，
则
.因为点在圆上，
所以，于是，从而，解得，即.又当时，，故的最大值为.

3.解析：（1）直线方程中，令，则，则直线与轴交于，所以．离心率，所以，故．所以双曲线的标准方程为．
（2）（i）综上所述，的取值范围是．
（ii）设．直线和方程分别为和．
联立得点．又点在直线上，代入整理得：．①在直线方程中，令，则，得点．故直线方程为：．
设直线与直线交点为，联立两直线方程：．
解得：．
设直线与直线交点为，同理可得：．
由①式，作差的分子有
，作差的分母有.则可得和表达式的分子分母分别相等．
故，两点重合，所以直线与的交点在定直线上．