2025届安徽省阜阳第一中学高考第六次模拟数学试题

这是一份2025届安徽省阜阳第一中学高考第六次模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则复数z的实部与虚部之和是（ ）
A．B．C．4D．6
2．已知全集，集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．在区间上单调递增
C．图象的一个对称中心为D．的最小正周期为π
4．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
6．过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，若，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
9．如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D．当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为
10．设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）
A．
B．若，则点的坐标为
C．的最小值为
D．满足面积为的点有2个
11．若的三个内角的正弦值为，则（ ）
A．一定能构成三角形的三条边
B．一定能构成三角形的三条边
C．一定能构成三角形的三条边
D．一定能构成三角形的三条边
三、填空题
12．若存在过点的直线与函数，的图象都相切，则 ．
13．设等比数列的前项和为，若，则 .
14．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 .
四、解答题
15．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
16．（1）已知数列的前n项和为，（λ为常数）对于任意的恒成立．证明：数列是等差数列；
（2）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，求的值．
17．如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．

(1)当为何值时，平面平面?
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
18．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点与短轴端点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆外一点作两条互相垂直的直线、，、与椭圆均相切，切点分别为、两点.
（i）求的轨迹方程.
（ii）记原点到、的距离分别为、，求的最大值.
19．已知函数，其中.
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若，证明对任意，恒成立.
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
《2025届安徽省阜阳第一中学高考第六次模拟数学试题》参考答案
1．D
【分析】根据复数运算律化简后根据定义分别判断实部和虚部计算即可.
【详解】因为．所以复数z的实部与虚部分别是4和2，
故复数z的实部与虚部之和是．
故选:D.
2．D
【分析】根据补集可得，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断.
【详解】因为全集，，可得，
所以，，，.
故选：D.
3．C
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
【详解】因为，所以，解得，
即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；
当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；
因为，故是函数的一个周期，故D错误.
故选：C
4．D
【分析】根据已知条件，结合函数奇偶性特点，得到函数关系式，通过代入特殊值逐个选项判断即可求解.
【详解】因为，则有，
所以，由此可知为周期为的周期函数，
又因为是奇函数，所以，
因为，所以；
对于A选项，根据，将代入，
得，解得，A正确；
对于B选项，根据，将代入，
得，B正确；
对于C选项，根据，将代入，
得，C正确；
对于D选项，根据，有，
又根据，将代入，
得，由A选项可知，
所以，所以D错误.
故选：D
5．C
【分析】可设两只胳膊的拉力分别为，，根据即可求出重力的值，进而得出小猴子的体重．
【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，，，
，
，解得．
小猴子的体重约为．
故选：C．
6．B
【分析】由题知曲线是以为圆心，1为半径的半圆，结合图形，利用过两点直线的斜率和直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线，
曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示），
设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以，
因为，易知，
又与曲线相切，由，解得，所以，
所以直线斜率的取值范围为.
故选：B.
7．D
【分析】设并由条件求出的范围，代入化简后求出的值，得到与的关系式代入化简后列出方程，求出的值，进而求解.
【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）.
所以，即，又因为，所以，则，
解得：，，所以，
故选：.
8．D
【分析】由可得.由，可得.
又由内切圆的圆心在直线上，可得，据此可得答案.
【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，
.
因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则
，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
【点睛】结论点睛：本题涉及以下结论：
（1）极化恒等式：；
（2）双曲线焦点三角形的内切圆圆心在直线上.
9．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.
【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则由题：，
所以，
因为，，
所以，所以，，
所以，所以，
对于A：由，故A错误；
对于B：由是平面的一个法向量，
则，
所以当时，，所以平面，故B正确；
对于C：由，
设平面的一个法向量为，
所以，令，
设点到平面的距离为，则，
所以，
所以，
因为长度为定值，所以当时，三棱锥体积最大，故C正确；
对于D：设直线与所成角为，
由上当时，
，
当且仅当即时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
10．AB
【分析】对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点横坐标，代入抛物线方程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令即可举出反例；对于D，由点到直线距离公式将原问题转换为方程的或的正根的个数和即可判断.
【详解】
对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确；
对于B，若，解得，所以，即点的坐标为，故B正确；
对于C，取，则，
因为，所以，即，
所以，即，故C错误；
对于D，直线的斜率为，所以它的方程为，
点到它的距离为，
注意到，若面积为，
则，又，
所以或，解得或，
所以满足面积为的点有3个，故D错误.
故选：AB.
11．AD
【分析】根据正弦定理边角化，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A，由正弦定理得，
所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，A正确，
对于B，由正弦定理得，
例如，则，
由于，，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，
对于C, 由正弦定理得，
例如：、、，则、、，
则，，，作为三条线段的长不能构成三角形，C不正确；
对于D，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且，
所以，故D正确，
故选：AD
12．2
【分析】利用导数的几何意义分别求出两条切线的方程，从而根据切线方程为同一条，可求得参数的值.
【详解】，
设直线与函数的图象相切于点，
则切线斜率，切线的方程为．
设直线与函数的图象相切于点，
则切线斜率，切线的方程为．
因为过点的直线与函数的图象都相切，
所以
由（1）得，将代入（3），
得，
所以；
由（2）+（4）得，
因为，所以．
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线的公切线方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于较难试题.
13．
【解析】由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】，否则.
∴，
∴.
∴.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，考查了计算能力，属于中档题.
14．
【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得与对应的概率，从而利用数学期望的计算公式即可求解.
【详解】设这三个正整数分别为，则题意可得，
所以随机变量可能取值为1和2，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种；
②三个数中有两个1，有种，
所以时，；
当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种；
②三个数中有两个2，有种，
所以时，，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为种，再分类讨论与对应的概率，从而得解.
15．(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.
【详解】（1）根据题意可得列联表：
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
16．（1）证明见解析；（2）1
【分析】（1）由与的关系代入计算，然后结合等差数列的定义即可证明；
（2）由题意可得，从而可得，再由，可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），
∴，，
∴，则，，
∴，又，，∴，
∴对任意，成立，∴数列是等差数列；
（2）假设的小数部分为，可设，
则，化简可得，
因为，则一定为正整数，而不是正整数，
这与矛盾，所以假设不成立，即的小数部分不可能为0.5，
因此，
整理可得，
故，
注意到当时，，因此．
类似的，有，
整理可得，
故，
注意到当时，，因此．
综上所述，有．
17．(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可.
（2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可
（3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径.
【详解】（1）连接，由题意得，，
则为等边三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
则，故.
若平面平面，
由平面平面，平面，，
则平面，平面，则，
所以.
下面证明当时，平面平面.
证明：由，则，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故当时，平面平面；
（2）由（1）知，，则平面平面.
在平面内过作，
由平面平面，平面，
则平面，平面，则.
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；
（3）设点到平面的距离为，
由，其中为定值，
则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大，
取中点，连接，则，
当平面时，点到平面的距离最大，
此时，由平面，则平面平面，
由（1）知，，为直角三角形， .
则，
，
，
在中，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
其中，，
故，
故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为.
【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得.
18．（1）；（2）（i）；（ii）.
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）（i）设点的坐标为，对、的斜率是否同时存在进行分类讨论.在、的斜率都存在时，设两直线的斜率分别为、，通过将直线方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，将、转化为关于的二次方程的两根，利用韦达定理可求得点的轨迹方程；在直线、分别与两坐标轴垂直时，求出点的坐标，验证点的坐标满足轨迹方程，综合可得出结果；
（ii）分析可得，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】（1）由已知可得，解得，因此，双曲线的方程为；
（2）（i）设点的坐标为.
①若直线、的斜率都存在时，不妨设直线、的斜率分别为、，
不妨设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
联立，消去可得，
由，
可得，
由题意可知，、是关于的二次方程的两根，
因为，则，化简可得；
②当、分别与两坐标轴垂直时，满足，此时点的坐标为，
点在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为；
（ii）由（i）可知，
过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点、，
因为，，故，同理可得，
所以，四边形为矩形，故，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后可判断在区间为单调递增函数，从而可求出其最大值，
（2）对函数求导，可判断出在内是减函数，不妨设，则，等价于，令，所以只要判断在内是减函数即可
【详解】（1）当时，则函数，其定义域为
则在上恒成立，
所以在区间为单调递增函数，所以当时有最大值为：；
（2）由函数，则，
令，，，又，，
当时，，
所以在内是减函数， 因为，
不妨设，则 .
于是，等价于，
即，
令，
因在内是减函数，
故，
从而在内是减函数，
∴对任意，有，即，
∴当时，对任意，恒成立.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数判断函数的单调性，第（2）问解题的关键是由导数可得在内是减函数，不妨设，从而将问题转化为成立，构造函数，只要能说明此函数在内是减函数即可得结论，考查数学转化思想，属于较难题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
D
C
B
D
D
BCD
AB
题号
11









答案
AD









优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30