浙江省杭州市2024_2025学年高二数学上学期期末试题B卷含解析

这是一份浙江省杭州市2024_2025学年高二数学上学期期末试题B卷含解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
1. 4 与 9 的等比中项为（ ）
A. 6 B. C. D. 6.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项的概念计算即可.
【详解】设 4 与 9 的等比中项为 ，则 ，所以 或 .
故选：C
2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 .
故选：A.
3. 已知圆 与圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含
【答案】A
【解析】
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【分析】利用几何法可判断两圆的位置关系.
【详解】由题意可知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，所以， ，
因此，圆 与圆 相交.
故选：A.
4. 在正方体 中， 分别为 和 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦
值是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，转化为求解两向量夹角的余弦值即可.
【详解】设正方体棱长为 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
则 ，
又异面直线 与 所成角为锐角，
则异面直线 与 .所成角的余弦值为 .
故选：B.
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5. 已知直线 与椭圆 有公共点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程的特点，可得 且 ，可排除 BC，再用特例进行判断.
【详解】根据椭圆方程的特点，可得 且 ，可排除 BC，
当 时，点 在椭圆内部，所以直线 与椭圆 必有公共点.
故选：D
6. 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ． ，则等差数列 的公差为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算公式求解.
【详解】因为 为等差数列，所以 .
所以 ，又 ，所以 或 .
若 ，则 ；
若 ，则 .
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故选：C
7. 若直线 与 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线过的定点以及圆的圆心和半径，根据弦长问题可求得最值.
【详解】第 1 步：求解直线恒过的定点及圆的圆心、半径，
直线 的方程可化为 ，故 恒过定点 ，
又 的圆心 ，半径为 4．
，
第 2 步：求解直线与圆相交的弦长，
点 到圆心 的距离为 ，
故 在 的内部，如图，设 到 的距离为 ，则 ，
第 3 步：判断弦长最小时的位置，并求解
要使 最小，只需 最大，
当 时， 有最大值，且 ，
故 的最小值为 ．
故选：C.
8. 已知数列 满足 ， ，则 的最大值为（ ）
A. 420 B. 380 C. 342 D. 6
【答案】A
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【解析】
【分析】条件可变形为 ①，将 代入递推公式可得 或 ；当 时，
②. ①-②化简变形可得 或 .当 时，
或 ；
当 时， ，故数列 是以 为首项，公差为 2 的等
差数列.由等差数列通项公式可得 ，再利用累加法即可求解.
【详解】 ， ①.
当 时， ，解得 或 .
当 时， ②.
①-②得 ，
或 .
当 时， 或 ；
当 时， ，
∴数列 是以 为首项，公差为 2 的等差数列.
要使 取得最大值，则 ， ，
由等差数列通项公式可得 .
， ， ，…， ，
以上式子相加得
，
.
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故 最大值为 420.
故选：A.
【点睛】本题考查求数列通项公式与数列求和，解题关键是当 时，两条件式作差变形后可得
或 .对第二种情况变形后利用等差数列通项公式与累加法即可求解.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
B. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
C. 点 关于平面 对称的点的坐标是
D. 若 、 是两个单位向量，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用空间向量相等的传递性可判断 A 选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断 B 选项；
利用空间直角坐标系中点的对称性可判断 C 选项；利用单位向量的概念可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则 ，A 对；
对于 B 选项，因为 ，则 ，所以， 或 ，B 错；
对于 C 选项，点 关于平面 对称的点的坐标是 ，C 错；
对于 D 选项，若 、 是两个单位向量，则 ，D 对.
故选：AD.
10. 已知等差数列 的前 项和为 ，正项等比数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 不可能是等差数列 B. 若 ，则
C. 是等差数列 D. 若 单调递减，则 单调递增
【答案】BC
【解析】
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【分析】通过举反例的方法判断 A、D；在等差数列 中，由 得 ，再利用等差数列通
项的性质可判断 B；利用等差数列的定义结合等差数列的前 项和公式及等比数列的定义即可判断 C.
【详解】对于 A，当等比数列 的公比 时， ， 是等差数列.故 A 不正确.
对于 B，在等差数列 中，由 得 ，
∴ ，即 ，故 B 正确；
对于 C，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， ，
则 ， 为常数.
所以 等差数列；故 C 正确；
对于 D，令 ，显然 单调递减， 单调递减，故 D 不正确.
故选：BC.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点，下列说法正确
的是（ ）
A. 抛物线 的准线为
B. 若直线 过点 ，则
C. 抛物线 上到直线 距离为 的点共有 个
D. 的周长大于
【答案】AB
【解析】
【分析】根据抛物线方程求准线方程，判断 A 的真假；求出直线 的方程，将该直线方程与抛物线方程
联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断 B 的真假；根据直线与抛物线的交点个数判断 C 的
真假；根据抛物线的定义可求 周长的最小值，判断 D 的真假.
【详解】对于 A 选项，因为抛物线 ，所以其准线方程为 ，故 A 正确；
对于 B 选项，直线 的斜率为 ，
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所以，直线 的方程为 ，
设点 、 ，联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ，此时， ，故 B 正确；
对于 C 选项，因为直线 的方程为 .
到直线 的距离为 的点的轨迹方程设为 .
由 或 .
当 时，由 .
因为 ，所以方程有两个不同的解；
当 时，由 .
因为 ，所以方程有两个不同的解.
所以抛物线 上到直线 距离为 的点共有 个，故 C 错误；
对于 D 选项，过 作 与准线垂直，垂足为 ，交抛物线于点 ，
过点 作 垂直于抛物线的准线，垂足为点 ，
则 ，
当且仅当 与 重合时等号成立，且 .
所以 周长的最小值为 ，当 点坐标为 时取“ ”，故 D 错误.
故选：AB.
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【点睛】方法点睛：涉及抛物线中线段和最小的问题，一般要借助抛物线的定义转化为点到直线的距离求
最小值.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 在等比数列 中，已知 ， ，则公比 ______．
【答案】
【解析】
【分析】将 用首项和公比来表示，建立关于公比的等式求解即可．
详解】解： ，
解得： ．
故答案为： ．
13. 点 是直线 上一点， 是直线 的一个方向向量，则点 到直线 的距离是
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得 ，且 ，结合 ，即可求解.
【详解】由题意，点 和 ，可得 ，且 ，
所以点 到直线 的距离是 .
故答案为： .
14. 已知 是双曲线 的右焦点，直线 与双曲线 交于 两点， 为
坐标原点， 分别为 的中点，且 ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出 ，在利用 分别为 的中点，得出四边形 为矩形，
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再利用双曲线的定义列出等式，即可求出离心率.
【详解】
根据对称性设 A 在第一象限，设 ， 分别为 的中点,所以
,
因为 ，所以 ,即四边形 为矩形，
,因为 ，则 ，
则 ，即 ，即 ，则 ，则左焦点 ，
右焦点 ，则 ，解得
，即 ，则双曲线的离心率为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆 ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，过 作圆 的切线，求切线的方程．
【答案】（1）
（2） ，或
【解析】
【分析】（1）根据二元二次方程表示圆可得答案；
（2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距
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离等于半径即可求解.
【小问 1 详解】
因为方程 表示圆，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
若 ，则圆 ，
即 ，则圆心为 ，半径为 ，
当斜率不存在时，直线方程为 ，
因为圆心 到直线方 的距离为 ，所以直线 与圆相切；
当斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
圆心到直线 的距离为 ，
解得 ，所以切线方程为 ，
即 .
综上所述，切线的方程为 ，或 ．
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且
．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；
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（2） .
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；
【小问 1 详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，而 ，且 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由（1）可知： 平面 ，
所以平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则有 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
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，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 与 的关系求数列的通项公式；
（2）利用“错位相减法”求数列的前 项的和.
【小问 1 详解】
当 时， .
当 时， ，用 代替 ，可得： .
两式相减得： ，
又 ，
所以 是以 3 为首项 3 为公比 等比数列，所以 .
【小问 2 详解】
，
所以：
两式相减得： ，
所以： .
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18. 已知椭圆 ， 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上任意一点．若
的周长为 ，且 的最小值为 ．
（1）求 的方程；
（2）设点 ，过 的直线 与椭圆 交于 、 两点，记直线 、 的斜率分别为 、 ，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义个焦半径公式可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，可得出 的值，
由此可得出椭圆 的方程；
（2）分两种情况讨论，①直线 与 轴重合，求出 的值；②直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为
，设点 、 ，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结
合韦达定理可求出 的取值范围，综合可得答案.
【小问 1 详解】
因为 是椭圆 上任意一点，且 的周长为 ，则 ，可得 ，
设点 ，则 且 ，所以， ，
易知 ，则
，
所以， 的最小值为 ，所以， ，解得 ，则 ，
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因此，椭圆的方程为 .
【小问 2 详解】
如下图所示：
若直线 与 轴重合时，此时， ，则 ，
若直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
则 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
.
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
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（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中 n 为正整数．
（1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，且
恒成立，求 的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；
（2）求出 表达式，再分段求和即可 通过参变分离求最值即可求解；
【小问 1 详解】
点 在函数 的图象上，
， ，
数列 是“平方递推数列”，
因为 ，
对 两边同时取对数得 ，
数列 是以 1 为首项、2 为公比的等比数列；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
所以 ，
故数列 的奇数项构成 1 为首项，4 为公差的等差数列，偶数项构成 2 为首项，4 为公比的等比数列，
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由等差数列求和公式及等比数列求和公式可得：
所以 等价于：
化简可得：
，
令 ，则 ，当且仅当 时去等号，
所以 ，
所以 的最大值
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