第二章 第9节 函数的图象（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）（原卷版+解析版）

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【知识梳理】
考点1 利用描点法作函数的图象
步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
考点2 利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;
y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;
y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;
y=ax(a>0,且a≠1)的图象y=lgax(a>0,且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y=f(x) y=f(ax).
y=f(x) y=Af(x).
(4)翻折变换
y=f(x)的图象 y=|f(x)|的图象;
y=f(x)的图象 y=f(|x|)的图象.
【名师点拨】
1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.
2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行.
【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( )
(2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.( )
(3)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( )
(4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
【解析】(1)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同,(1)错误.
(2)y=f(1-x)=f[-(x-1)],所以可由y=f(-x)向右平移1个单位长度得到,(2)错误.
(3)中两函数当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同,(3)错误.
(4)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,(4)错误.
2.函数y=1x4−1的图象大致为( )
【答案】C
【解析】法一 当00,
则f(x)在(1,+∞)上单调递增,故排除D.
【思维建模】
1.抓住函数的性质,定性分析:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征,定量计算:寻找函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【变式训练】2.(2025·济南模拟)函数f(x)=(ex−1)sinxex+1,则y=f(x)的部分图象大致形状是( )
【答案】A
【解析】易知函数的定义域为R,
因为y=ex−1ex+1是奇函数,y=sin x是奇函数,
所以f(x)是偶函数,排除B,D,
当x∈(0,π)时,y=ex−1ex+1>0,y=sin x>0,
所以f(x)>0,排除C.
【变式训练】3.(2025·天津十二区重点学校模拟)y=f(x)的大致图象如图,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=|x2-sin x|
B.f(x)=|x-sin x|
C.f(x)=|2x-1|
D.f(x)=x2−x−14
【答案】A
【解析】因为f(0)=0,所以排除D;
C中,因为当x>0时,f(x)=2x-1为(0,+∞)上的增函数,与所给图象不符,所以排除C;
B中,因为f(-x)=|-x-sin(-x)|=|-x+sin x|=|x-sin x|对x∈R都成立,
所以f(x)为偶函数,与所给图象不符,所以排除B.
考点三 函数图象的应用
角度1 图象法解方程或不等式
【典例】4.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A.(-2,0)∪(2,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2)
D.(-2,-2)∪(0,2)∪(2,+∞)
【答案】C
【解析】根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象,如图所示,
由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,
则x2−2>0,f(x)>0或x2−20),0(x=0),−x+a+a(xf(x)在R上恒成立.
①当a≤0时,由f(x)的图象(如图1)向左平移20个单位长度得f(x+20)的图象,
显然f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,满足f(x+20)>f(x).
②当a>0时,由f(x)的图象(如图2)向左平移20个单位长度得到f(x+20)的图象,要保证f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,需满足2a-20