2024-2025学年江苏省南京市协同体十校高一下学期期中联合考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市协同体十校高一下学期期中联合考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin72°sin48°+sin(−42°)cs72°的值为( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
2.在▵ABC中，AB=2 2，∠BAC=60°，∠ABC=75°，则BC=( )
A. 2B. 3C. 6D. 2 3
3.已知a,b,c均为单位向量，若c=b−a，则a与c夹角的大小等于( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.在▵ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsB−bcsA=c，则▵ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
5.已知csα+ 3sinα=45，则cs(2α+π3)的值是( )
A. −2125B. −1725C. 1725D. 2125
6.若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续的，且同时满足f(a)f(b)0，则( )
A. f(x)在a,a+b2上有零点B. f(x)在a+b2,b上有零点
C. f(x)在a,a+b2上无零点D. f(x)在a+b2,b上无零点
7.已知tanα、tanβ是关于x的方程2x2+mx−4=0的两根，且α+β=34π，则m的值为( )
A. 6B. −6C. 5D. −5
8.在▵ABC中，∠ABC=2π3，D为边AC上一点，∠DBC=π6且BD=1，则▵ABC面积的最小值为( )
A. 3B. 33C. 2 3D. 2 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量和满足|a|=1，|b|=2，|a+2b|= 13，下列说法中正确的有( )
A. a⋅b=−1B. (a+b)⊥(a−b)
C. a−2b= 21D. a与b的夹角为π3
10.已知函数f(x)=2sinωx(sinωx+csωx)(ω>0)，最小正周期为π，则下列结论正确的是( )
A. ω=1B. x=3π8是f(x)的一个对称轴
C. f(x)的图象的最小值是− 2D. 点5π8,0是f(x)的一个对称中心
11.如图，若△ABC的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是
A. 若⊙O的半径为定值，则AO·AB为定值
B. 若CA、CB的长度为定值，则CO·AB为定值
C. CA·OD=CB·OD
D. OA·OB=OC2−12AB2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程x2−2mx+m2−1=0的一根在(1,2)内，另一根在(3,4)内，则实数m的取值范围是 ．
13.已知sinα+sinβ=12，csα+csβ=−14，则cs(α−β)的值为 .
14.在▵ABC中，∠BAC为锐角，AC=2AB，且对于t∈R，AB−tAC的最小值为45AB，则cs∠ABC=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,2),b=(2,−2)．
(1)若ka+b⊥a−2b，求实数k的值；
(2)若a与a−2b的夹角为θ，求csθ+π4的值．
16.(本小题15分)
已知α，β均为锐角，且tanα=12，sin(α−β)= 1010．
(1)求tan(α−β)和sin2α值；
(2)求2α−β的值．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知m=(a,c)，n= 3,sinB+ 3csB，且m//n．
(1)求角A的大小；
(2)若a=8，▵ABC的面积为3 3，求▵ABC的周长
18.(本小题17分)
如图，在▵ABC中，已知AB=4，AC=2，∠BAC=60°，M为AB边上一点，点N在线段BC上，且CN=12NB，AN⊥CM．
(1)求线段AN的长度，
(2)求AMAB的值．
19.(本小题17分)
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧BC⌢组成，其中AC为4百米，AC⊥BC，A为π3.若在半圆弧BC⌢，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE,DF，使DE//AB,DF//AC.记∠CBD=θπ3≤θ0，则tanA= 3，又A∈0,π，
所以A=π3．
(2)由▵ABC的面积为3 3，得12bcsinA=3 3，即bc=12，
由余弦定理得64=a2=c2+b2−2bccsA=(b+c)2−3bc，解得b+c=10，
所以▵ABC的周长l=a+b+c=8+10=18．

18.(1)因为CN=12NB，
AN=AC+CN=AC+13CB=AC+13AB−AC=13AB+23AC，
AN2=13AB+23AC2=19AB2+49AC2+49AB·AC，
AB2=16，AC2=4，AB⋅AC=AB⋅ACcsπ3=4×2×12=4，
所以AN2=AN2=19×16+49×4+49×4=163，所以AN=4 33．
(2)设AM=λAB，因为AN⊥CM，
所以AN·CM=0，13AB⃗+23AC⃗·λAB⃗−AC⃗=0，
λ3AB2−23AC2+2λ−13AB·AC=0，
所以λ=12，所以AMAB=12．

19.(1)由题意，连接DC.在▵ABC中，
AC为4百米，AC⊥BC，A=π3，
∴∠CBA=π6，AB=8，BC=4 3，
∵BC为直径，
∴∠BDC=π2，
∴BD=BCcsθ=4 3csθ．
(2)由题意及(1)得，
在▵BDF中，
∠DBF=θ+π6,∠BFD=π3,∠BDF=π2−θ,BD=4 3csθ，
∴DFsinθ+π6=BFsinπ2−θ=BDsin∠BFD=4 3csθ 32=8csθ，
∴DF=8csθsinθ+π6且BF=8csθsinπ2−θ=8cs2θ，
∴DE=AF=AB−BF=8−8cs2θ，
∴DE+DF=8−8cs2θ+8csθsinθ+π6=2 3sin2θ−2cs2θ+6=4sin2θ−π6+6，
∵π3≤θ