2024-2025学年江西省宜春市丰城中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省宜春市丰城中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=11−i的共轭复数是( )
A. 12+12iB. 12−12iC. 1−iD. 1+i
2.已知一个扇形的圆心角为π3，且所对应的弧长为π，则该扇形面积为( )
A. πB. 32πC. 2πD. 3π
3.已知向量a=(2m+1,1),b=(1,5−4m)，且a⊥b，则m的值为( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
4.若α+β=3π4,tanα=2，则sin(α−β)cs(α−β)−sinαsinβ=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
5.在四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A−BCD，如图，则在三棱锥A−BCD中，下列结论不正确的是( )
A. CD⊥AB
B. CD⊥BD
C. 平面ADC⊥平面ABD
D. 平面ABC⊥平面BDC
6.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知csCc+csBb=(2− 3)a，则A的最大值为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7.21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为4m和5m，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为( )
A. 36−21 2m
B. 40−21 2m
C. 40−24 2m
D. 36−24 2m
8.已知平面向量a、b、c满足|a|=|b|=a⋅c=2，且|a+λc|⩾|a−12c|对任意实数λ恒成立，则|b−(a+c)|的最小值为( )
A. 2− 3B. 2 3−2C. 2+ 3D. 2 3+2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x−π4)，下列正确的有( )
A. f(x)与g(x)有相同零点B. f(x)与g(x)有相同最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期D. f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴
10.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是锐角三角形
B. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形
C. 若bcsC+ccsB=b，则△ABC是等腰三角形
D. △ABC是锐角三角形，则sinA>csB
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线BA1与EF所成的角的大小为60°
D. 若D1P//平面A1BC1，则点P的轨迹的长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知OA=(1,2)，OB=(3,−4)，则AB在OA方向上的投影向量坐标为______．
13.若cs(α+π4)cs(α−3π4)=−13，则sin2α= ______．
14.已知四边形ABCD为平行四边形，AB=4，AD=3，∠BAD=π3，现将△ABD沿直线BD翻折，得到三棱锥A′−BCD，若A′C= 13，则三棱锥A′−BCD的内切球与外接球表面积的比值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca=sinA+2sinBcsA2sinA．
(1)求B的大小；
(2)若b=2 2，△ABC的面积为2 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，边长为2，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．
(1)求证：BC1//平面A1DC；
(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，A1C与平面ABC所成的角为45°，求四棱锥A1−BCC1B1的体积．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3cs2ωx+sinωxcsωx− 32(ω>0)，f(x)图象的相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式和函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π12个单位得g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=m在[−π12,π6]上只有一个解，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，已知三棱台ABC−A1B1C1的体积为14 33，底面△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，且AA1=A1B1=BB1=12AB．
(1)证明：BC⊥平面ABB1A1；
(2)求点B到平面ACC1A1的距离；
(3)在线段CC1上是否存在点F，使得二面角F−AB−C的大小为π6？若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，△ABC中，AB=2，AC=1，点D在线段BC上，△ABE为等边三角形．
(1)若CD=2DB，∠CAB=120°，求线段AD的长度；
(2)若CD=2DB，求线段DE的最大值；
(3)若AD平分∠BAC，求△ACD与△ABD内切圆半径之比的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：∵Z=11−i=1+i(1−i)(1+i)=1+i1−i2=1+i2
∴复数Z的共扼复数Z=12−12i
故选B
先对已知复数进行化简，然后根据共扼复数的定义可知Z=a+bi的共扼复数Z=a−bi 可求其共扼复数．
本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，考查了复数的共扼复数的概念，属于基础试题．
2.【答案】B
【解析】解：因为扇形的圆心角为π3，且所对应的弧长为π，
故半径为ππ3=3，
故该扇形面积为12×3×π=3π2．
故选：B．
先求出扇形的半径，再根据公式可求扇形的面积．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：向量a=(2m+1,1),b=(1,5−4m)，
则a⋅b=2m+1+5−4m=6−2m=0，可得m=3．
故选：A．
应用向量垂直的坐标表示列方程，求参数值．
本题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得tanβ=tan(3π4−α)=tan3π4−tanα1+tan3π4tanα=3，
则sin(α−β)cs(α−β)−sinαsinβ=sinαcsβ−csαsinβcsαcsβ+sinαsinβ−sinαsinβ=sinαcsβ−csαsinβcsαcsβ=tanα−tanβ=−1．
故选：B．
由两角差的正弦、余弦、正切公式展开化简即可求解．
本题考查了两角差的正弦、余弦、正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于B，如图，
因为AD//BC，AD=AB，∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠ADB=45°，
又因为∠BCD=45°，AD//BC，
所以∠ADC=135°，
所以∠BDC=∠ADC−∠ADB=135°−45°=90°，
所以CD⊥BD，所以B正确；
对于A，由B选项知CD⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以CD⊥平面ABD，
因为AB⊂平面ABD，
所以CD⊥AB，所以A正确；
对于C，由选项A知，CD⊥平面ABD，
因为CD⊂平面ADC，
所以平面ADC⊥平面ABD，所以C正确；
对于D，如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，
因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以AE⊥平面BCD，
显然AE⊄平面ABC，所以平面ABC与平面BDC不垂直，所以D错误．
故选：D．
根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可．
本题考查线面，面面位置关系的判断，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知csCc+csBb=(2− 3)a，
则a2+b2−c22abc+a2+c2−b22abc=(2− 3)a，整理得a2=(2− 3)bc．
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc≥2bc−(2− 3)bc2bc= 32，
当且仅当b=c时取等号，
所以csA≥ 32，
故00，
∴A，B，C都是锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选项A正确；
B：由acsA=bcsB及正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
C：由bcsC+ccsB=b及正弦定理可得sinBcsC+sinCcsB=sinB，即sin(B+C)=sinA=sinB，
∵A，B，C是△ABC的内角，∴A=B，∴△ABC是等腰三角形，故选项C正确；
D：△ABC是锐角三角形，∴A+B>π2，即0