2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足z(2−i)=|3+4i|，则复数z的虚部是( )
A. 2B. 2iC. 1D. i
2.已知向量a=(1,3)，b=(1,−1)，c=(4,5).若a与b+λc平行，则实数λ的值为( )
A. 219B. 411C. −47D. 2
3.下列说法正确的是( )
A. 一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B. 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C. 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D. 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b═3，c=2 2，A=π4，则a=( )
A. 5B. 5C. 29D. 29
5.已知圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，其母线长为5，则圆台的表面积为( )
A. 145πB. 150πC. 155πD. 160π
6.若2sin(α+2022π)−cs(α+π)cs(α−3π2)−3csα=2，则tan(α+π4)=( )
A. 113B. −113C. 311D. −311
7.已知直线x=5π24是函数f(x)= 3sin2ωx2+12sinωx− 32(0sinB，则a>b
B. 若△ABC是锐角三角形，则sinA>csB恒成立
C. 若bcsC−ccsB=a，则△ABC一定是直角三角形
D. 若sin2A+sin2C+cs2B>1，则△ABC一定是锐角三角形
11.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论，其中正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)在区间(π2,π)上单调递减
C. f(x)的最大值为2
D. f(x)在[−2024π,2024π]有4049个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______．
13.已知复数z满足|z+2−2i|=1，则|z−3−2i|的最小值为______．
14.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=4，AA1=1．
店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H−E−E1−F1−F−G−G1−H1−H的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A比图B最多节省的彩绳长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知e1,e2是夹角为π2的两个单位向量，a=3e1−2e2,b=2e1−3e2．
(1)求a⋅b的值；
(2)求a与a−b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，点M，N，Q分别为PC，CD，AB的中点．
(1)求证：平面MNQ//平面PAD；
(2)在棱PA上确定一点S，使NS//平面PBC，并说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx−2sin(x+π4)sin(x−π4)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cs2x0的值．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(csB−csC)=(b+c)csA．
(1)证明：A=2B；
(2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，sinB=35，求1b+1c的值；
(3)求ca的取值范围．
19.(本小题17分)
现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形．
(1)求出所有可能的三角形的面积；
(2)如图，已知平面凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，DA=4，(ⅰ)求csA，csC满足的数量关系；
(ⅱ)求四边形ABCD面积的最大值，并指出面积最大时BD的值．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.B
6.D
7.B
8.D
9.BCD
10.ABC
11.BC
12. 7
13.4
14.20−10 2
15.解：(1)由题意知，e1,e2是夹角为π2的单位向量，
故e1⋅e2=|e1||e2|csπ2=0，
所以a⋅b=(3e1−2e2)⋅(2e1−3e2)=6e12−13e1⋅e2+6e22=12；
(2)由题意得，
|a|= (3e1−2e2)2= 9e12−12e1⋅e2+4e22= 13，
|a−b|= (e1+e2)2= e12+2e1⋅e2+e22= 2，
所以a⋅(a−b)=a2−a⋅b=13−12=1，
所以cs〈a,a−b〉=a⋅(a−b)|a||a−b|=1 13× 2= 2626，
即a与a−b的夹角的余弦值为 2626．
16.(1)证明：因为M，N，Q分别为PC，CD，AB的中点，
可得MN//SD，NQ//AD，
因为MN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以MN//平面PAD，
同理可得NQ//PAD，
MN∩NQ=N，
所以平面QMN//平面PAD；
(2)解：S为PA的中点，
证明如下：
取PD的中点E，
连接SE，EN，因为N为CD的中点，
所以NE//PC，SE//AD，AD//BC，
所以SE//CB，
又因为SE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以SE//平面PBC，同理可证得NE//平面PBC，
SE∩NE=E，
可证得平面SEN//平面PBC，
又因为SN⊂平面SEN，
所以SN//平面PBC．
17.(1)由题意可得f(x)= 3sin2x−2sin(π2+x−π4)sin(x−π4)
= 3sin2x−2cs(x−π4)sin(x−π4)
= 3sin2x−sin(2x−π2)
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6)，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
可得函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(2)∵x∈[0,π2]，
∴π6≤2x+π6≤7π6，
∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
∴函数f(x)=2sin(2x+π6)在区间[0,π2]上的最大值是2，最小值是−1；
(3)∵f(x0)=85，整理可得sin(2x0+π6)=45，
又∵x0∈[π4,π2]，可得2x0+π6∈[2π3,7π6]，
∴cs(2x0+π6)=− 1−sin2(2x0+π6)=− 1−(45)2=−35，
∴cs2x0=cs[(2x0+π6)−π6]
= 32cs(2x0+π6)+12sin(2x0+π6)
= 32×(−35)+12×45
=4−3 310．
18.(1)证明：∵a(csB−csC)=(b+c)csA，
∴由正弦定理可得sinAcsB−sinAcsC=csAsinB+csAsinC，
∴sinAcsB−csAsinB=sinAcsC+csAsinC，
∴sin(A−B)=sin(A+C)，
∵A+B+C=π，则sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，
∴sin(A−B)=sinB，
由△ABC是锐角三角形，得0