浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为直线，即，
所以，且，所以，
故选:D.
2. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】A
【解析】设直线的方向向量，直线的方向向量，
由于，所以，因此可得：，解得：.
故选：A.
3. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为点在圆的内部，
所以，即，
解得，
实数的取值范围是，
故选：A.
4. 空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意画出如图所示的空间四边形

由图可知
，
故选：B.
5. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设圆心为，
由题意得，即，
解得，故圆心，半径为，
故圆的标准方程为.
故选：C.
6. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】方程表示椭圆，则，
解得，且，
反之，当，且时，方程表示椭圆，
所以方程表示椭圆的充要条件是或.
故选：D.
7. 如图所示，正方体的棱长为1，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面平行
D. 直线与平面所成的角为
【答案】C
【解析】在棱长为的正方体中，建立为原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系，
如图所示：
因为，，分别为、、的中点，
则A1,0,0，，，，，；
对于A选项，，，由于，
因此直线与直线不垂直，故A选项错误；
对于C选项，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
因为，所以，
所以，
因为直线在平面外，所以直线与平面平行，故C选项正确；
对于D选项，，
设直线与平面所成的角为，
，
故D选项错误；
对于B选项，，
又因为在正方体中，底面，
所以，故B选项错误.
故选：C.
8. 已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知
∵，∴，
由题意知OQ是△F1F2M的中位线，∴，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆，
∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离，
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，点O0,0,0，，，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点关于轴的对称点坐标为
D. 直线的一个方向向量
【答案】BCD
【解析】对于A选项，由于，，根据空间两点距离公式可得：.故A选项错误；
对于B选项，，，设向量与向量的夹角为，
则，故B选项正确；
对于C选项，点关于轴的对称点坐标为，故C选项正确；
对于D选项，易知，由于，得：，因此是直线的一个方向向量，故D选项正确.
故选：BCD.
10. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的一个方向向量为
B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直
D. 点到直线上的点的最短距离是1
【答案】BCD
【解析】由题意得直线的斜率，又直线经过点，
所以直线方程为，化简得；
对于A，直线的一个方向向量为，则与不平行，所以不是直线的方向向量，故A不正确；
对于B，令，则，解得，所以直线在轴上的截距等于，故B正确；
对于C，直线的斜率为，
因为，所以直线与直线垂直，故C正确；
对于D，点到直线的距离，所以点到直线上的点的最短距离是1，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知直线与圆相交于、两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 的最小值为
C. 若、、、（为坐标原点）四点共圆，则
D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
【答案】AD
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，则，解得，A对；
对于B选项，直线的方程可化为，
由得，所以，直线过定点，
则，
当时，圆心到直线的距离取最大值，且最大值为，
因为，则，
则，B错；
对于C选项，若、、、四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心，
的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以，
圆的方程为，
整理为，
直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得
所以直线的方程是，
将直线所过的定点坐标代入上式得，得，
所以直线，即直线的斜率为，即，则，C错；
对于D选项，当时，直线，
曲线，即，
所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，D对.
故选：AD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是________.
【答案】
【解析】由椭圆的标准方程可知，，所以，
因为，，所以，，所以离心率.
13. 直线关于直线对称的直线的方程为________.
【答案】
【解析】联立，解得，所以是直线和直线的交点，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
所以直线的方程为，
即直线关于直线对称的直线的方程为.
14. 已知实数、满足，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】等式可化为，
令，整理可得，
所以，直线与圆有公共点，
且圆心为，半径为，
则，整理可得，
解得或，
因此，的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.
15. 求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
解：（1）由，解得，即点，
由于所求直线与直线平行，
所以设所求直线方程为，
代入，得：，解得，
所以所求直线方程为.
（2）由（1）知，点，
由于所求直线与直线垂直，
设所求直线方程为，
代入，得：，解得，
所以所求方程为.
16. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为的正方形，，底面，、分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
（1）证明：因为四边形为正方形，底面，所以、、两两相互垂直，
如图，以为原点，分别以、、方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得A0,0,0、、、、、，、、，
则，，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，故，
即，则，
令，则，，
所以为平面a的一个法向量，
所以，所以，
又平面，所以平面.
（2）解：由平面的一个法向量为，.
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为.
17. 已知直线及圆.
（1）求证：直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值；
（2）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.
（1）证明：因为直线，得，
由，可得，所以直线过定点.
圆，所以定点在圆上，
圆心，半径为.
当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，此时有：，所以.
（2）解：设点到直线的距离为，利用勾股定理得：.
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
（1）证明：因为平面，所以，，
又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，
所以平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，则，，所以，
所以，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
（3）解：由（1）得，，，，
设，则，可得，
所以，
由（2）知是平面的一个法向量，
若平面，可得，则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直.
19. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.
（1）解：由已知得，，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：法一：设，
则圆的方程为：，
圆过，代入圆的方程得，
故；
法二：设，圆半径为r，则圆方程为：，
圆过，，由题意可设，
则；
（3）证明：由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在，
设直线，，
则，需满足，
则，，
则，
结合第一问知，即，
即得，
化简得，
解得或，
当时，直线PQ方程为，直线PQ过点A-2,0，不合题意，
当时，直线PQ方程为，故直线PQ过定点；
当圆圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在，
圆G方程为，
令，则，此时不妨设，
则的方程为，即，
联立，得，解得或，
即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点，
故直线PQ过定点