浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 展开式中的系数为， 已知，，，下列选项正确的是， 设离散型随机变量的分布列为， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）
1. 设函数，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】∵，且，
∴．
故选：A．
2. 已知随机变量的分布列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
4. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，
而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，
所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.
故选：B.
5. 展开式中的系数为（ ）
A. 17B. 20C. 75D. 100
【答案】A
【解析】因为，
因为的通项为：，
令可得，
令可得，
所以展开式中的系数为：.
故选：A.
6. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，由图可得，
而，
故，
故选：C.
7. 已知，，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，即，
又，，
所以，故A错误；
又，故B正确；
，故D错误；
，故C错误.
故选：B
8. 把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意曲线C的解析式为
则方程，即，
即对任意恒成立，于是的最大值，
令则
由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，
所以当时，函数取最大值，即为4，于是．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A：由，解得，
所以，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A：令，可得，故A正确；
对于B：令，，
所以，故B正确；
对于C：，
二项式的展开式的通项公式为，
所以，故C错误；
对于D：令，
可得，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，其中，则（ ）．
A. 不等式对恒成立
B. 若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是
C. 方程恰有3个实根
D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为
【答案】AD
【解析】对于选项A，，
当或时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以在出取得极小值，，
在处取得极大值，，
而时，恒有成立，
所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；
对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，
由A选项分析，函数的大致图象如下，

由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，
故B错误；对于C选项，由，得，解得，
令，和，而，
由图象知，和分别有两解：
综上，方程共有4个根，C错误；

对于D选项，直线过原点，且，，
记，，易判断，，
不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．

故选：AD
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 方程的解是__________.
【答案】1或2
【解析】由可得：或，
则：或，
解得：或或，
当时，显然不符合题意；
当时，则成立；
当时，则成立；
故或.
故答案为：或.
13. 过原点的直线与相切，则切点的坐标是______.
【答案】
【解析】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
14. 若函数在单调递增，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的导数为，
由题意，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，，
∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
又∵的图象是开口向下的抛物线，
∴，解得：.
∴的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数在处取得极大值6.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
解：（1），
因为在处取得极大值6.
所以，得
此时，
令可得：；令可得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增
所以在处取得极大值，符合题意，
所以.
又，所以
（2），所以
列表如下：
由于，故时，.
16. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）系数最大的项是第几项.
解：（1），
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以.
（2），
当为整数时为有理项，
即，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数最大，
则，
所以，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
17. 某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）
（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
（2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；
（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.
解：（1）方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，
故共有种
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种，
第二类：女组长不当选，男组长当选，有种，
共有种.
18. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望；
（2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.
解：（1）由题意，的可能值为.
所以的分布列为
所以.
（2）记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，
则，
，
，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点.
（i）求取值范围；
（ii）证明：
解：（1）当时，，
.
显然，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）（i）由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故，
又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，可得，即的取值范围是.
（ii）由（i）且，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，
即，令，则证，
由（1）可知当时，在上递增，
又，故，
即，
综上，
0
1
2
3
4
0.2
0.1
0.4
0.1
0
1
2
3
+
0
0
+
1
极大值6
极小值5
10
3
4
5
6