四川省甘孜藏族自治州2024-2025学年高二下学期7月期末统一考试数学试卷

这是一份四川省甘孜藏族自治州2024-2025学年高二下学期7月期末统一考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了 若随机变量， 已知函数， 已知等差数列， 已知等⽐数列，，635，879， 在等差数列等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项:
答题前， 务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
答选择题时，必须使⽤ 2B 铅笔填涂对应题⽬的答案标号，如需改动，⽤橡⽪擦擦⼲净后，再选涂其他答案标号.
答⾮选择题时，必须使⽤ 0.5 毫⽶⿊⾊签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效.
考试结束后， 只将答题卡交回.
⼀、单选题（40 分）
1. 学校为促进学⽣课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择⼀个，则不同的选择⽅法共有（）
A. B. 2C. D.
在等差数列中，若，，则公差（）
A B. C.D.
以下四个命题中，其中真命题为（）
在回归分析中，可⽤相关指数的值判断模型的拟合效果，越⼤，模型的拟合效果越好；
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越⼤；
若数据，，…，的⽅差为 1，则，，…，的⽅差为；
对分类变量与的随机变量的观测值来说，越⼩，判断“与有关系”的把握程度越⼤．
“ ” 是“ 函数只有⼀个零点” 的（）
充要条件B. 必要不充分条件
A. 7 种
B. 8 种
C. 9 种
D. 10 种
2. 若随机变量
，且
，则
（
）
A. 0.4
B. 0.5
C. 0.6
D. 0.7
3. 已知函数
，则
（
）
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
“”“”
甲、⼄两名射击运动员进⾏射击⽐赛，甲的中靶概率为，⼄的中靶概率为，甲是否击中对⼄没有影响，设甲中靶 ，⼄中靶 ，则（）
与，与，与，与都相互独⽴
与是对⽴事件
C. 数列是等差数列D. 数列的前 10 项和是
下列说法正确的是（）
从容量为的总体中抽取⼀个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按⽐例分层随机抽样三种不同⽅法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
若，则事件 A 与事件 B 相互独⽴
⼀个⼈连续射击 2 次，事件“两次均未击中”与事件“⾄多⼀次击中”互为对⽴事件
若，，且事件 A 与事件 B 相互独⽴，则
已知函数在处取得极⼩值，则下列结论正确的是（）
或
函数有且仅有⼀个零点
C 函数恰有两个极值点
D. 函数在有最⼩值，⽆最⼤值
8. 已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（
）
A. 52
⼆多选题（18 分）
、
B. 96
C. 106
D. 12
9. 已知等⽐数列，
，
，则（
）
A. 数列是等⽐数列
B. 数列
的前
和是

三、填空题（15 分）
已知随机变量，则.
甲、⼄、丙、丁、戊五⼈完成 A，B，C，D，E 五项任务所获得的效益如下表：现每项任务选派⼀⼈完成，其中甲不承担 C 任务，丁不承担 A 任务的指派⽅法数有种；效益之和的最⼤值是.
在中，若，则的最⼤值为.
四、解答题（77 分）
已知．
求的值；
求的值．（参考数据：）
为了了解⾼中学⽣课后⾃主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们数学成绩（y 分）的关系，某实验⼩组做了调查，得到⼀些数据如下表：
若该组数据中 y 与 x 之间的关系可⽤线性回归模型进⾏拟合，求 y 关于 x 的回归直线⽅程．（参考数据：
A
B
C
D
E
甲
11
13
10
13
11
⼄
25
26
24
23
23
丙
10
14
15
13
11
丁
7
9
11
9
11
戊
14
16
15
16
12
编号
1
2
3
4
5
x
10
20
30
40
50
y
70
80
100
120
130
）
基于上述调查，某校提倡学⽣课后⾃主学习．经过⼀学期的实施后，抽样调查了 160 位学⽣．按照参
与课后⾃主学习与成绩进步情况得到如下 2×2 列联表：
依据的独⽴性检验，分析“课后⾃主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归⽅程中斜率和截距的最⼩⼆乘估计公式分别为：，
，其中．
以“‘智’在必得”为主题 ⼈⼯智能知识挑战赛预赛由 6 道正误判断题组成，每位选⼿从中随机抽取 3 道，
若能全部回答正确，则通过预赛.已知选⼿甲会做其中的 4 道题.
设表示选⼿甲抽到会做题⽬的道数，求随机变量的分布列和⽅差；
假设选⼿甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.
已知函数，函数．
求的最⼩值；
若．
成绩没有进步
成绩有进步
合计
参与课后⾃主学习
5
135
140
未参与课后⾃主学习
5
15
20
合计
10
150
160
0 1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
①求零点的个数；
②证明：的所有零点之和为定值．
已知数列的前项和为，且.
求数列通项公式；
数列满⾜，求数列的前项和；
设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
⽢孜州 2024-2025 学年下期全州统⼀调研考试
⾼⼆期末数学试题
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项:
答题前， 务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
答选择题时，必须使⽤ 2B 铅笔填涂对应题⽬的答案标号，如需改动，⽤橡⽪擦擦⼲净后，再选涂其他答案标号.
答⾮选择题时，必须使⽤ 0.5 毫⽶⿊⾊签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效.
考试结束后， 只将答题卡交回.
⼀、单选题（40 分）
1. 学校为促进学⽣课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择⼀个，则不同的选择⽅法共有（）
A. 7 种B. 8 种C. 9 种D. 10 种
【答案】C
【解析】
【分析】应⽤分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算求解即可.
【详解】由题知共有两种情况，
第⼀种情况：美术、街舞都选，则需从剩余的三个社团中选择⼀个，共有种选择⽅法;
第⼆种情况：美术、街舞中选择⼀个，则还需从剩余三个社团中选择两个，共有种选择⽅法，
【分析】根据正态分布的性质可求概率.
【详解】根据题意，随机变量，且，
故不同的选择⽅法共有
故选:
2. 若随机变量
种.
，且
，则
（
）
A. 0.4
【答案】A
B. 0.5
C. 0.6
D. 0.7
【解析】
则则
故选：A
3. 已知函数
，则
（
.
）
A.
B. 2
C.
D.
【答案】A
【解析】

【分析】求导得，令即可求解.
【详解】对求导得，，令，得，解得.
故选：A.
4. 在等差数列
中，若
，
，则公差
（
）
A.
【答案】C
B.
C.
D.
【解析】

【分析】由等差数列的性质可得出，即可得出的值.
【详解】由等差数列的性质可得，则，故.
故选：C.
以下四个命题中，其中真命题为（）
在回归分析中，可⽤相关指数的值判断模型的拟合效果，越⼤，模型的拟合效果越好；
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越⼤；
若数据，，…，的⽅差为 1，则，，…，的⽅差为；
对分类变量与的随机变量的观测值来说，越⼩，判断“与有关系”的把握程度越⼤．
【答案】A
【解析】
【分析】对于A，B，由相关指数的意义判断即可；对于C，利⽤⽅差的性质判断即可；对于D，由的定义判断即可
根据相关系数的意义，因是相关系的绝值越⼤，可知 B 是假命题；
点求，判断必要性，由此可得结论.
【详解】当时，函数只有⼀个零点；
当时，函数只有⼀个零点 1；若函数只有⼀个零点，则或．
“”“”
所以是 函数只有⼀个零点的充分不必要条件．故选：C.
甲、⼄两名射击运动员进⾏射击⽐赛，甲的中靶概率为，⼄的中靶概率为，甲是否击中对⼄没有
“”“”
影响，设甲中靶 ，⼄中靶 ，则（）
与，与，与，与都相互独⽴
与是对⽴事件
【答案】A
【解析】
【分析】根据独⽴事件和对⽴事件定义可知AB 正误；根据独⽴事件概率乘法公式可知C 错误；根据对⽴
若数据
，，…，
的⽅差为 1，那么
，，…，
的⽅差为，所以 C 是假命题；
对分类变量与的随机变量所以 D 是假命题．
故选：A．
的观测值
来说，应该是越⼤，判断“与有关系”的把握程度越⼤，
6. “ ” 是“ 函数
”
只有⼀个零点的（）
A. 充要条件
C. 充分不必要条件
【答案】C
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】
【分析】在时，求函数
的零点，判断充分性，由函数只有⼀个零
事件概率公式可求得D 错误.
【详解】对于A，两⼈射击结果没有相互影响，与，与，与，与都相互独⽴，A 正确；
“”
对于B，表示事件“ 甲中靶且⼄未中靶” ，其对⽴事件为“ 甲中靶且⼄中靶或甲未中靶” ，表示事件⼄中靶且甲未中靶 ，
【分析】利⽤等差数列的⽚段和性质计算即可.
【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列，所以.
故选：B.
⼆、多选题（18 分）
已知等⽐数列，，，则（）
数列是等⽐数列B. 数列的前和是
C. 数列是等差数列D. 数列的前 10 项和是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等⽐数列通项公式和等⽐前和公式，等差数列的定义法证明⽅法，和等差数列前和公式，分别判断各选项正误.
与
不是对⽴事件，B 错误；
对于C，
与相互独⽴，
，C 错
误；
对于D，
，D 错误.
故选：A.
8. 已知等差数列
的前项和为
，且
，则
（
）
A. 52
【答案】B
B. 96
C. 106
D. 12
【解析】
【详解】由题可得，
则，所以数列是等⽐数列，故A 正确；，故B 不正确；已知，
，故是等差数列，故C 正确；
则，故D 错误.
故选：AC.
下列说法正确的是（）
从容量为的总体中抽取⼀个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按⽐例分层随机抽样三种不同⽅法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
若，则事件 A 与事件 B 相互独⽴
⼀个⼈连续射击 2 次，事件“两次均未击中”与事件“⾄多⼀次击中”互为对⽴事件
若，，且事件 A 与事件 B 相互独⽴，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抽样⽅法的相关概念、独⽴事件的概率公式、事件之间的关系以及概率的乘法运算，逐⼀检验，可得答案.
【详解】对于A，根据抽样⽅法的使⽤规则，可知A 正确；
对于B，，故B 正确；
对于C，设事件{两次均为中}={中枪次数为}、事件{⾄多中⼀次}={中枪的次数为}，由，则事件包含事件，故C 错误；
对于D，由，则，
因为事件与事件相互独⽴，所以
，故D 正确.
故选：ABD.
已知函数在处取得极⼩值，则下列结论正确的是（）
或
函数有且仅有⼀个零点
函数恰有两个极值点
函数在有最⼩值，⽆最⼤值
【答案】BC
【解析】
【分析】求出导函数，根据已知得出⽅程，求解得出的值.代⼊检验，即可得出；代⼊即可得出函数的单调性、极值；根据极值以及特殊点处的函数值，结合函数的单调性以及零点存在定理，即可得出函数
的零点情况；根据函数的单调性，求解即可得出函数在上的最值情况.
【详解】对于A 项，由已知.
⼜函数在处取得极⼩值，所以有，解得或
当时，有.
解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.所以，函数在处取得极⼩值，满⾜条件；
当时，有.
解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.
所以，函数在处取得极⼤值，不满⾜条件，舍去.
故.A 项错误；
对于B 项，由A 知，，
且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.
⼜，，
根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上没有零点，在上没有零点.
⼜，
根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上有⼀个零点，在上没有零点.综上所述，函数有且仅有⼀个零点. 故B 正确；
对于C 项，由A 可知在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，所以，在处取得极⼤值，在处取得极⼩值.
故C 正确；
对于D 项，由A 知，在 上单调递增，在上单调递减.所以，在处取得最⼤值，⽆最⼩值.故D 错误.
故选：BC.
三、填空题（15 分）
12. 已知随机变量
，则
.
【答案】
【解析】
【分析】由⼆项分布⽅差公式
直接可求.
【详解】因为，
所以
故答案为：.
.
甲、⼄、丙、丁、戊五⼈完成 A，B，C，D，E 五项任务所获得的效益如下表：现每项任务选派⼀⼈完成，其中甲不承担 C 任务，丁不承担 A 任务的指派⽅法数有种；效益之和的最⼤值是.
【答案】①. 78②. 80
【解析】
【分析】第⼀空，由间接法求解，5 ⼈的全排列减去甲承担C 任务，丁承担A 任务的排列，再加上重复减去的情况即可；第⼆空，通过讨论 B 项⼯作由甲承担还是⼄承担，进⾏求解；
【详解】依据乘法原理，选派⽅法共有，
由表可知，五项⼯作获得 效益值总和最⼤为，但不能同时取得；
要使总和最⼤、甲可以承担B 或D 项⼯作，丙只能承担C 项⼯作，则丁不可以承担C 项⼯作，所以丁承担 E 项⼯作；
⼄ 若 承 担 B 项 ⼯ 作 ， 则 甲 承 担 D 项 ⼯ 作 ， 戊 承 担 A 项 ⼯ 作 ， 此 时 效 益 值 总 和 为 ： ，
⼄若不承担B 项⼯作，则⼄承担A 项⼯作，甲承担B 项⼯作，则戊承担D 项⼯作，此时，效益值总和为： ，
所以，完成五项⼯作后获得的效益值总和最⼤是 80.
故答案为：78；80
在中，若，则的最⼤值为.
A
B
C
D
E
甲
11
13
10
13
11
⼄
25
26
24
23
23
丙
10
14
15
13
11
丁
7
9
11
9
11
戊
14
16
15
16
12
【答案】
【解析】
【分析】依题意，，化简得，令，则
，构造函数，借助导数求出最⼤值，进⽽得到答案.
【详解】因为，即，即
，
即，即，两边同时除以，得，
即，
，
，则
令，，则，
则
令，
令，则或，
当时，，所以在上单调递增，
当或时，，所以在上单调递减，所以当时，，当时，，所以的最⼤值为 ,
故答案为： .
四、解答题（77 分）
已知．
求的值；
求的值．（参考数据：）
【答案】（1）0（2）
【解析】
【分析】（1）令⼆项式中的，，即可求解．
（2）令，即可相减求解.
⼩问 1 详解】
令得，，
再令得，，所以，
【⼩问 2 详解】
令得，，
所以，
所以
为了了解⾼中学⽣课后⾃主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验⼩组做了调查，得到⼀些数据如下表：
若该组数据中 y 与 x 之间的关系可⽤线性回归模型进⾏拟合，求 y 关于 x 的回归直线⽅程．（参考数据：
）
基于上述调查，某校提倡学⽣课后⾃主学习．经过⼀学期的实施后，抽样调查了 160 位学⽣．按照参
编号
1
2
3
4
5
x
10
20
30
40
50
y
70
80
100
120
130

与课后⾃主学习与成绩进步情况得到如下 2×2 列联表：
依据的独⽴性检验，分析“课后⾃主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归⽅程中斜率和截距最⼩⼆乘估计公式分别为：，
，其中．
【答案】（1）
（2）在犯错概率不超过的前提下，认为“课后⾃主学习与成绩进步”有关.
【解析】
，
成绩没有进步
成绩有进步
合计
参与课后⾃主学习
5
135
140
未参与课后⾃主学习
5
15
20
合计
10
150
160
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）先计算
，进⽽得
即可求解；
（2）计算卡⽅，利⽤独⽴性检验思想即可求解.
【⼩问 1 详解】
由题意有
，
，
所以
，
，
所以
【⼩问 2 详解】
；
由题意有
，
所以在犯错概率不超过的前提下，认为“课后⾃主学习与成绩进步”有关.
以“‘智’在必得”为主题的⼈⼯智能知识挑战赛预赛由 6 道正误判断题组成，每位选⼿从中随机抽取 3 道，
若能全部回答正确，则通过预赛.已知选⼿甲会做其中的 4 道题.
设表示选⼿甲抽到会做题⽬的道数，求随机变量的分布列和⽅差；
假设选⼿甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.
【答案】（1）分布列⻅解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）先确定的可能取值，然后针对不同的取值求出对应的概率，进⽽可列出的分布列，从⽽求得期望和⽅差..
（2）根据条件概率和全概率公式可求得他通过预赛的概率.
【⼩问 1 详解】
根据题意.
；
；
.
所以的分布列为
的期望
.
故随机变量
所以的⽅差.
【⼩问 2 详解】
设事件“选⼿甲抽到 道会做的题⽬，”，事件“选⼿甲通过预赛”，
则
，
，
，
两两互斥，
由（1）知，
.⼜
.
所以
同理，
.
.
.
（2）①3 个；②证明⻅解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数导数，利⽤导数求出函数的最⼩值.
（2）①求出函数的导数，结合零点存在性定理求出的零点所在区间，进⽽求出函数
1
2
3
.
由全概率公式得，选⼿甲通过预赛的概率
.
18. 已知函数
，函数
．
求的最⼩值；
若．
①求零点的个数；
②证明：的所有零点之和为定值．
【答案】（1）；
的单调性，再由零点存在性定理求出零点个数；②变形并构造函数，
探讨奇偶性并利⽤其性质求得所有零点和.
【⼩问 1 详解】
函数定义域为R，求导得，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，所以当时，函数取得最⼩值.
【⼩问 2 详解】
①函数的定义域为R，求导得，令，求导得，⽽，
当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，，
⽽，则存在，使得，
，令，求导得，
函数在上递增，，即，
因此存在，使得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，⽽，
则是的⼀个零点，且，⼜，因此函数在上各有⼀个零点，
所以零点的个数为 3.
②，
⽽，由，得，令，
，则函数为R 上的奇函数，
数列满⾜，求数列的前项和；
设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【答案】（1）
（2）
（3）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据数列前项和为与数列通项公式的关系，求出数列的通项公式；
根据对数的运算公式，求出数列的通项公式，根据错位相消法求出数列的前项和；
根据数列的函数性质，和等差数列的函数性质，说明不存在三个不同的项构成等差数列.
【⼩问 1 详解】
由题意得，
当时，，
作差得，化简得，
可知数列为等⽐数列，当时，，解得，所以.
【⼩问 2 详解】
函数
的图象关于原点对称，因此
的所有零点和为 0，
所以
所有零点和为 0，是定值.
19. 已知数列
（1）求数列
的前项和为
通项公式；
，且.
可知，
，
则，
则
作差得，化简得.
【⼩问 3 详解】
已知，可知在函数上，
设等差数列，是⼀个⾸项为，公差为的等差数列，则在函数上，
可知是指数函数，是⼀次函数，
易知指数函数与⼀次函数⾄多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，⼜在上，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.