福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线的斜率，则该直线的倾斜角为.
故选：B.
2. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】点关于原点对称的点的坐标为，
故选：D.
3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将椭圆方程变形为，
因为焦点在轴上，所以，
解得．
故选：B.
4. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线垂直，
则，
解得，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，，
则
．
故选：A．
6. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为，，
当直线的斜率不存在时，，符合，
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
因为点，，，
则，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，
因为，
又，所以，
所以直线的倾斜角范围为.
故选：B.
7. 已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线恒过，
直线恒过，
由，得直线和互相垂直，
因此两条直线交点在以为端点的直径的圆上，
则的轨迹方程为，（去掉），其圆心，半径，
由于垂直于直线，则M到该直线的距离为，而，
因此，即，而当时，点的坐标为，不符合题意，
所以的取值范围是.
故选：D.
8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】由，得，则，则，
则，即，解得，
则，
因为，所以，
即，整理得，
则，解得或，
故或．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出以下命题，其中错误的是（ ）
A. 平面的法向量分别为，则
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由可知两向量不具有倍数关系，故不平行，A错误；
对于B，由于，，
则，
故，则或，B错误；
对于C，由于，即得，C正确；
对于D，由于，
故，
向量是平面的法向量，则，解得，
故，D错误，
故选：ABD.
10. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ）
A. 若，则
B. 若两条平行直线与间的距离为，则
C. 直线过定点
D. 点到直线距离的最大值为
【答案】AC
【解析】由直线，，则，.
对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，即，
此时，即，，
因为与间的距离为，
所以，解得或15，故B错误；
对于C，由，令，即，
所以直线过定点，故C正确；
对于D，由C知，直线过定点，
要使点到直线距离最大，则，
则点到直线距离的最大值为，故D错误.
故选：AC.
11. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（ ）
A. 的周长为6B. A，，三点共线
C. A，两点间的最短距离为2D.
【答案】ABD
【解析】设椭圆长轴长，短轴长，焦距，
则由椭圆方程可知，
如图：

因为A在椭圆上，所以，，
所以的周长为，故A正确；
对B：设点的坐标为，Ax1,y1，Bx2,y2，
由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在.
所以过A点的切线方程可设为：，
联立方程组：，消去得：，
由得：，
整理得：，
因为：，，
所以：
,
即.
所以过点A的切线为：.
又切线过点，所以.
同理：.
故A，两点都在直线上，而点1,0也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确；
对C：若直线无斜率，则,
若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：y=kx-1,
联立方程组：y=kx-1x24+y23=1，消去得：，
整理得：3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0，
则，，
所以，
所以：.
综上：.故C错误；
对D：设过点的切线方程为：，
联立方程组：，消去得：，
由得：，
整理得：，
不妨设，则，
易知，
且均为锐角，故
，
所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______.
【答案】
【解析】因为圆：，则，半径为，
由可得圆心为原点，半径为，
因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切.
所以，又，所以.
所以圆：即.
所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即.
13. 已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】直线恒过定点0,1，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则0,1在椭圆内部或在椭圆上，
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．
实数的取值范围是：．
14. 斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为______．
【答案】
【解析】在斜三棱柱中，与平面相切的球的球心为，与平面相切的球的球心为，
因为球、球与平面都相切，令切点分别这，有，
又球、球与平面都相切，则平面，又平面，
于是平面，而平面，平面平面，因此，且，
在平面内过点作，在平面过点作，
因为平面平面，平面平面，则平面，
以点作原点，射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

在中，，，则，
的方向向量，的方向向量，
由，得的方向向量，
设平面的法向量，则，
令，得，
设平面的法向量，则，
令，得，
令球的半径为，设点，则，
由，得，
显然点到平面的距离等于等腰底边上的高，即有，
由，得，代入，解得，
，线段在轴上的投影为，
显然三棱柱的高等于点到平面的距离，到平面的距离与在轴上的投影的和，
所以三棱柱的高为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知顶点、、．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
解：（1）由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：由于平面平面且两平面的交线为，
又，平面
故平面，平面，，
，且为的中点，，
又，平面，
平面．
（2）解：由于平面平面且两平面的交线为，
又平面，
故平面，
如图，作于，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，，.
即，可取，则．
设平面的法向量为，
，，
即可取，则．
，
即平面与平面的夹角余弦值为．
17. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长为4. 点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若 与椭圆的相交于两点，求的长度；
（3）若直线的交点Q在椭圆上，求点的坐标.
解：（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4，
所以，即得，于是，
故椭圆的标准方程为；
（2）如图，设，因，则点横坐标为，

因点位于第一象限，代入椭圆方程，解得，即，
又点，则，因，故，
由消去可得，，
则，
故.
（3）如图，设，因为点为第一象限的点，故，

当时，与相交于，与题设不符；
当时，直线的斜率为，直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程：①，直线的方程：②，
由①②解得，所以，
因为点在椭圆上，又，由对称性，得，即或，
由在椭圆上可得：，
由，解得；
由，方程组无解；
故点的坐标为.
18. 已知的圆心在x轴上，经过点和．
（1）求的方程；
（2）过点的直线l与交于A、B两点．
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
解：（1）设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.
（2）①当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即.
19. 法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为.
（1）求椭圆的蒙日圆的方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）；
（3）设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值.
解：（1）由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为，得，
由椭圆过点，得，解得，于是，
所以椭圆的蒙日圆的方程为.
（2）由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为，
由消去并整理得，，
由，得，即，
则坐标原点到直线的距离，，
所以的面积.
（3）由（1）知，椭圆的方程为，椭圆的蒙日圆方程为，
设，则，设，，则，
当切线的斜率存在时，设的方程为，
由消去y得，
，
整理得，
即，
则，解得，
于是，即，
当切线的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式，
因此切线的方程为，同理切线的方程为，
将代入切线，的方程，有，，
从而直线的方程为，
当时，
由，
消去并整理得：，
显然，
，
则，
又点到直线的距离，
于是的面积，
设，
则，
令，
求导得，即函数在上单调递增，，
当，即时，
由对称性不妨令，直线，
由，
解得，，，
所以面积的最小值为.