2024-2025学年福建省福州市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果，，三点共线，那么（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
4．在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
6．已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．若三个非零空间向量满足，则有
B．若空间中任意一点，则P，A，B，C四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，若，则为钝角
10．已知，动点满足，记的轨迹为.过A的直线与交于P，Q两点，直线BP与的另一个交点为，则（ ）
A．的面积的最大值为
B．当时，
C．Q，M关于轴对称
D．在上存在点，使得
11．如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则（ ）
A．B．点在上
C．上的点的纵坐标的最大值为D．若点在上，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．若点在圆的外部，则实数的取值范围是 .
13．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.若透明窗DE所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为 .
14．已知实数满足，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程．
16．如图，在长方体中，，点在AB上，且.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若点在侧面上，且点到直线和CD的距离相等，求点到直线距离的最小值.
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，是正三角形，.平面平面ABCD，点在棱PC上.
(1)若平面ADE与棱PB交于点，求证：平面ABCD；
(2)若二面角E-AD-B的余弦值为，求点到平面ABCD的距离.
18．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且，
①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标；
②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值.
19．“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线.
(1)已知，若，求；
(2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点，
（i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值；
（ii）已知点在直线上，求的最小值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】即，，
，，三点共线，故，
即，解得，，，故.
故选：D
2．【正确答案】A
【详解】若直线与直线垂直，
等价于，解得或，
显然是真子集，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
3．【正确答案】C
设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，分类讨论，利用直线方程的截距式可得结果.
【详解】设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，
当时，直线经过原点，其方程为，即；
当时，设直线的方程为，因为直线过点，
所以，解得，所以直线的方程为，即.
所以直线的方程为或.
故选：C
易错点点睛：容易漏掉截距为0的情况.
4．【正确答案】A
【分析】根据空间向量的加减运算法则，以为基底，不断向其转化即可得到答案.
【详解】
故选：A.
5．【正确答案】A
【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
6．【正确答案】A
【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.
因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.
故选：A
7．【正确答案】D
【详解】设，则,
恒成立，即，则恒成立，
最短即为点到直线的距离，则，解得或.
故选D.
8．【正确答案】C
【详解】因为，，所以,
因为
所以.
所以
即
所以异面直线与CD所成角的余弦值为.
故选：C.
9．【正确答案】BC
【详解】对于A选项,在空间向量中，时，与不一定平行.例如墙角处的三条相交直线对应的向量，两两垂直，所以A选项错误.
对于B选项,对于空间中任意一点O，若，且，则P，A，B，C四点共面.因为，所以P，A，B，C四点共面，B选项正确.
对于C选项,已知是空间的一组基底，则不共面.
假设共面，则存在实数，使得，即，可得，这与是基底矛盾，所以也是空间的一组基底，C选项正确.
对于D选项,若为钝角，则且与不反向.
，令，即，解得.
当时，，此时与反向，所以D选项错误.
故选：BC.
10．【正确答案】BCD
【详解】

设，则，整理得，
所以动点的轨迹为圆心为，半径为4的圆，
由图可知，当点到直线的距离最大时的面积最大，所以，故A错；
连接，，当时，，则为等腰直角三角形，
，故B正确；
由题易知，
又由正弦定理可得，，且，
所以，
所以，
又轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，故C正确；
设，，则，整理得，
，故D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】ABC
【详解】对于A,由原点在曲线上得，选项A正确.
对于B,设曲线与x轴正半轴相交于，则，解得 ，故 B正确.
对于C，设曲线C上任一点坐标为，则，
得 ，则 ，
所以 ，由，
得 ，由，
得，
所以 ，则，故C 正确．
对于 D，由，得，
故点在C 上时有成立，故D错误．
故选：ABC.
12．【正确答案】
【详解】因为点在圆的外部，
所以，
解得，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由，，，得，
则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得，又，
则，
因此，所以的面积为.
故
14．【正确答案】
【详解】设Px,y为圆上一点，直线为，
过点作，连接，作出如下示意图：

则Px,y到直线的距离，
所以，又，
所以，所以只需求出取值范围即可，
设直线与圆相切，所以，解得，
所以两条切线方程为和，设两切点分别为，，分别过作，
垂足为，过作，垂足为，所以，
因为直线的斜率为，所以，则，
所以，，又因为切线方程为，
所以，则，所以，，
所以，
所以，所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得.
（2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程.
【详解】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，
直线方程为，即，
由，解得，
所以点的坐标是.
（2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上，
因此，解得，即得点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
,
则,
设平面的一个法向量为，
因为，所以，即，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）设，根据题意有，即，，
则点到的距离
，
当时，取得最小值.
所以点到的距离最小值为.
17．【正确答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为底面是菱形，所以，
又平面，平面，则平面．
点在线段上，平面与线段交于点，
所以平面平面，而平面，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，如图所示，
由条件，是正三角形，，
则，，，
而平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，则，
而，得．在中，，结合勾股定理易得．
以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则O0,0,0，A1,0,0，，，，，
设，，则
，
所以点，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
由取，则，，
平面的法向量为，而平面的法向量为，
故，
解得（舍负），所以．
设直线E与平面所成角为，
．
18．【正确答案】(1)
(2)①证明见解析；定点②详见解析.
【详解】（1）设，，由中点坐标公式得，
由题意可知，，
所以，
整理得到曲线的方程为；
（2）①设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，即，
所以，，
所以，
，
所以且，
所以直线的方程为，即直线过定点；
②如图所示：
因为为定值，且于点，所以为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，此时为定值，
因为，，所以由中点坐标公式得，
所以存在定点，使得为定值.
19．【正确答案】(1)或
(2)（i），图象见解析，最大值为；（ii）
【详解】（1）因为，则，解得或.
（2）（i）因为曲线是“”曲线（是原点），设曲线上任意一点，
则，所以曲线的方程为，
当时，由，得到，
当时，由，得到，
当时，由，得到，
当时，由，得到，所以图象如图1，
因为，又易知，
所以，
令，则，由图1易知的最小值为，所以的最大值为.
（ii）如图2，因为点在直线上，设，，则，
因为，当时，，
所以，
易知，，不妨把看成一个常量，
当时，，当时，，当时，，
由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号，
当时，，所以，
易知，，不妨把看成一个常量，
当时，，当时，，当时，，
由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号，
当时，由，得到，
所以，
易知，，不妨把看成一个常量，
当时，，当时，，当时，，
由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号，
当时，由，得到，
所以，
易知，，不妨把看成一个常量，
当时，，当时，，当时，，
由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号，
综上，的最小值为.