【数学】福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期期末质量检测试题（解析版）

这是一份【数学】福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期期末质量检测试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设的倾斜角为，，
由题意得的斜率，则，
故选：C．
2. 已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】点关于轴的对称点为，
所以.
故选：C.
3. 双曲线C：的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，双曲线C的焦点在y轴上，
其渐近线的方程为，即.
故选：B.
4. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知，
所以．
故选：A．
5. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将圆：化为标准方程得：，
，即.
又∵点在圆外，
，解得或.
综上，的取值范围为.
故选：D.
6. 设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设椭圆焦距，则由题意知，
解之得，
所以，可得直线方程，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立得，则，
所以，
易知O到直线的距离为：，所以的面积为.
故选：A.
7. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 向量与的夹角是
【答案】D
【解析】对于A，在平行六面体中，
根据向量加法的三角形法则，，
由于，，所以，选项A正确.
对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是.
，则
.所以，选项B正确.
对于C，，
，
因为，所以，选项C正确.
对于D，，设向量与的夹角为
，
，
.
所以，选项D错误.
故选：D.
8. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】D
【解析】因为抛物线上一点到其准线的距离为3，
所以，解得，所以抛物线的标准方程为．
由抛物线的方程可知，焦点F1,0，根据题意可知直线的斜率存在且不为0，
设直线，，Ax1,y1,Bx2,y2．
由消去整理得，，
所以，．又，
所以，
解得，
则，，
则．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由，，可得
，故A正确；B错误；
对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列，
则，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（ ）
A. 若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为
B. 若，则的最小值是
C. 若内切圆的半径为1，则点的坐标为
D. 若线段中垂线过点，则直线的斜率为
【答案】BCD
【解析】对于A，依题意设双曲线（且），即，
又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误；
对于B，因为，所以，

，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确；
对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为．

则，，，
所以，
，解得，，
连接，则内切圆半径，，，，
所以轴，点在第二象限，坐标为-2,3，故C正确；
对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，且，
作差可得，
整理得，即（*），
在中，，则，
故，即，
将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，
则，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A. 过点作圆的切线有且只有一条
B. 圆和圆共有4条公切线
C. 若M，N分别为两圆上的点，则M，N两点间的最大距离为
D. 若E，F为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
【答案】ACD
【解析】对于A，对于圆，有，
所以点在圆上，则点作圆的切线有且只有一条，故A正确；
对于B，圆化为标准方程得，
则圆的圆心为，半径为2，
圆的方程化为，
则圆的圆心为圆心，半径为3，
因此，
因为，所以，
所以两圆相交，则圆和圆共有2条公切线，故B错误；
对于C，根据圆的图象可知，故C正确；
对于D，不妨设中点为，则，圆的半径为3，
由垂径定理可知，即，
设点坐标为，又点的坐标为0,1，
所以的轨迹方程为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______.
【答案】
【解析】设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，所以或，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
13. 已知为抛物线的焦点， 为上在第一象限内的两点，且满足，，线段的中点的纵坐标为6，则的方程为_____.
【答案】
【解析】由题意可设的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，
将代入，得，
所以，且，
由抛物线定义及，得，即，
所以，即，
又，
所以，解得，
又，即，所以的方程为.
14. 《九章算术》中记录的 “羡除” 是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体. 如图，在羡除中，四边形，均为等腰梯形， ，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为，，且，，，则异面直线AD与所成角的余弦值为____________.
【答案】
【解析】过点作、的垂线，垂足分别为、，则，.
由四边形，均为等腰梯形得，，
，，互相平行，，.
又平面平面，平面平面，平面,
平面，
平面，.
以为原点，、、 分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
异面直线AD与所成角的余弦值为：
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程．
解：（1）椭圆E经过点，，
椭圆E的长轴长是短轴长的倍，，
椭圆E的标准方程为；
（2）如图，设，
由
消去得：，
由，可得，
则，
线段中点的横坐标为，
，
解得，则，因两个值都满足，
故直线l的方程为，即或.
16. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为．
（1）求垂心的坐标；
（2）若关于直线的对称点为，求点到直线的距离．
解：（1）根据题意作出示意图如图，作出边上的高，边上的高，

即直线方程为，直线方程为,
联立，解得；
故垂心的坐标为.
（2）连接并延长交于点，
由（1）可知，；
易知，设直线的方程为，
将代入可得，即直线的方程为；
联立，解得，即；
所以直线方程为，即；
设点的对称点，则，且的中点在直线上，
又，所以，整理得，解得；
即;
所以点到直线的距离为.
17. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，则由，
即，得 ，
解得 或，因为，故舍去，
所以，．
（2）由（1）得，，所以，
令数列的前项和为，则，
即①，
②，
两式相减得：
，
所以.
（3）设数列的前项和为
由，，得，
则，即；
故
.
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面的夹角的正弦值为，
（i）求长；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则.
因为，
故，所以.
由已知，且，平面.
所以平面
（2）解：（i）设平面的法向量，因为，
所以，所以，令，得；
设平面的法向量，
所以，所以，令，得；
设平面与平面的夹角为，则，
因为，所以，所以，
解得（取正），所以长为2.
（ii）由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角，
在直角中，，
又，则与互余，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线的斜率为，求；
（3）当时，求的最小值．
解：（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：，
又根据题意，双曲线过点，所以，
所以双曲线的标准方程为：.
（2）如图：
因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
设直线的方程为：，即，
由，
不妨令，则直线的方程为：，
代入得：，
整理得：，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
所以，
所以，若，亦可得，
综上：.
（3）设直线的方程为，由，
不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，，
则，因为，所以，，
将代入双曲线可得：，
整理得：，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
因为，所以，
所以，
所以，
又，所以，
因为，所以，即的最小值为.