福建省部分优质高中2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省部分优质高中2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
又因为
所以.
故选：B
2. 若函数在处的导数等于,则的值为（ ）
A. 0B. C. aD.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 已知，，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，得，，
所以．
故选：B．
4. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选：B.
5. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】D
【解析】因为，
所以，
当且仅当，且，即时，取等号，
所以的最小值为2.
故选：D.
6. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】函数在上有极值，
即在上有变号零点，
也即方程在上有两不等实根，
由可得，当且仅当时，等号成立，
故需使.
故选：B.
7. 距离期中考试即将到来的20天之际，平潭某中学高二（1）班的五位同学打算利用周末时间来亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期六在平潭龙王头风景区、壳丘头遗址考古生态公园、北部湾生态风景区三个景点中选择一个进行游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（ ）
A. 46B. 56C. 36D. 66
【答案】C
【解析】将除甲乙外其他3人分成两组，有种，再把三组分配到三个景区有种；
把其他3人中的一个分到甲乙同一组，有种，再让余下2人各自成组，把三组人分配到三个景区有种；
所以共有种.
故选：C
8. 已知直线与曲线有三个交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，
则
令得，
∴时，单调递减；
令得，
∴时，单调递增,
又，
故，则，若，则，
且,
因为，
所以点在曲线上，
所以的图像如图所示
因为直线过定点，
由题意可知，过点的直线与曲线有三个交点，
因为过点的曲线的切线的斜率为：，
即当时，直线与曲线相切；
因，，
，，，
所以函数在时是凸的，在时是凸的，在函数可能有一个拐点.因此，函数 在 左右由凸变凹.
根据图像可知，
当时，直线与曲线有两个公共点；
当时，直线与曲线只有一个公共点；
当时，直线与曲线有三个公共点.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，都有”
B. 当时，的最小值是5
C. 若不等式的解集为，则
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】ABC
【解析】对于A，“，使得”的否定是“，都有，故A正确；
对于B，由基本不等式，，当且仅当，
即时，取等号，故B正确；
对于C，不等式的解集为，
则的根为，由韦达定理，
，则，故C正确.
对于D，时，可得，，可得或，
则，得不到，则“”是“”的充分不必要条件，故D错误.
故选：ABC
10. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由，
所以的展开式中最高次项为次项，
即，故A正确；
的展开式中，的系数为，的系数为，
则，故B错误；
令，得，故C正确；
令，得，
所以，，故D 正确；
故选：ACD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 只有1个极小值点
B. 曲线在点处的切线斜率为9
C. 当有3个零点时，m的取值范围为
D. 当只有1个零点时，m取值范围为
【答案】BC
【解析】由得或；
由得.
当或时，，
则，
∴当或时，
当时，
∴在上单调递增，在上单调递减.
当时，
则，
∴当时，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上得，处取得极小值，
故有2个极小值点，故A错误.
∵，∴曲线在点处的切线斜率为9，故B正确.
由得，
函数的零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题.
根据函数单调性分析，作出函数的图象，如图所示，

由图1可得，当函数的图象与直线有3个交点时，m的取值范围为，故C正确.
由图2可得，当函数的图象与直线有1个交点时，m的取值范围为，故D错误．
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数__________.
【答案】或
【解析】由题知，，
因为，所以，
则当时，，而；
当时，(舍)或，
所以或.
故答案为：或
13. 已知实数，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】由题意可得
，
当且仅当时，即时，等号成立，
则的最小值是.
故答案为：
14. 已知，则的大小关系为__________.
【答案】
【解析】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）分别求，.
（2）已知，且，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得，所以，
所以，
.
（2）因，，
所以，解得，
求实数的取值范围为.
16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求函数的解析表达式；
（2）求函数的极值.
解：（1）根据题意，，则，
解得，
.
（2）由（1），
令，解得或，
令，解得，
所以当或时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，
当时，取得极小值，极小值为.
17. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为．
（1）求n和a的值；
（2）求展开式中项的系数
（3）求的展开式中的常数项．
解：（1）由条件可得，解得
（2）
展开式的通项为：
，
当，
即时，项的系数为
（3）
，
①当即时，；
②当即时，；
所求的常数项为．
18. （1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？
（2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？
（3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？
解：（1）求没有重复数字的四位偶数的个数有两类：
个位数字为0，共有个；个位数字不是0，共有个，
所以没有重复数字的四位偶数的个数是.
（2）把5个不同颜色的小球按分成3组的分法数为；
按分成3组的分法数为，
将每种分法所得3组放入3个不同盒子，有种放法，
所以不同的放法种数为.
（3）求不同选法种数，有三类办法：
擅长两种书法的不选，有种；
擅长两种书法的选1人，有种；
擅长两种书法的选2人，有种，
所以不同选法种数是.
19. 已知函数
（1）当 时，求函数的单调区间；
（2）若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围；
（3）若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值；
解：（1）当时，，，
则，
令，得，令，得，
所以的单调增区间为，减区间为.
（2）由，
当时，由，得，
所以，在上是单调增函数，且图象不间断，
又，所以当时，，
所以函数在区间上没有零点，不合题意.
当时，令，得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
当时，，
又，
所以函数在区间上有1个零点，符合题意．
综上所述，的取值范围为.
（3）由在上恒成立，即，
由，则，对上恒成立，
令，则，
设，则，
所以在是单调增函数，
又，，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，又，即，
，
，又，，
所以的最大值为3.