黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期阶段测试（期中）（三）数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期阶段测试（期中）（三）数学试卷（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由抛物线方程可知，
故准线方程为：.
故选：B.
2. 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
3. 在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】在空间直角坐标系中，
过作平面，垂足为，
则轴，
在坐标平面内，过作轴，与轴交于，
由，则，，
由，平面，平面，
则轴平面，平面，
则轴，故即点到x轴的距离，
则.
故选：D.
4. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.
设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.
故选：C.
5. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线，可得，
所以，
所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；
虚轴长，故C错误；
离心率，故D正确.
故选：D.
6. 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A. 5B. C. D. 2
【答案】D
【解析】设抛物线的焦点为，无论在何处，PQ的最小值都是到轴的距离，
所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小，
根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为.
故选：D.
7. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】焦点在轴上的椭圆中，，，
所以．
由题意得，即，即，
解得．
故选：A．
8. 双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】设Px,y，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：
设F1-c,0、，，双曲线其中一条渐近线为，
直线的方程为，①
由，得，
即直线的斜率为，直线方程为，②
由点Px,y在双曲线上，得，③
联立①③，得，联立①②，得，
则，即，因此，
所以离心率．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
【答案】ABD
【解析】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，
则，所以两圆不可能内含．
故选：ABD．
10. 已知曲线的方程为，则（ ）
A. 当时，曲线表示一个圆
B. 当时，曲线表示椭圆
C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
【答案】ACD
【解析】当时，曲线是，故A正确；
当时，曲线表示一个圆，故B错误；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确是（ ）
A. 椭圆的离心率为B. 的周长为12
C. 的最小值为3D. 的最大值为16
【答案】BD
【解析】椭圆，则
对于A：，故A错误；
对于B：的周长为，故B正确；
对于C：的最小值为，故C错误；
对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，已知，，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
.
当时，等号成立.
所以的最小值是.
13. 设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则______.
【答案】3
【解析】如图，画出草图．
由的离心率为，且，可得，解得.
因为，
所以由双曲线的定义，可得.
14. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________.
【答案】
【解析】第一空，将代入中，，
即，，则椭圆方程为，
离心率为：.
第二空，如图所示，

易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又，代入得，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过点，且被直线平分.
（1）求圆的一般方程；
（2）设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
解：（1）直线恒过点.
因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即.
（2）设.因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
即，所以的轨迹方程为.
16. 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．
（1）求的方程；
（2）不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．
（1）解：因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，
所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，此时，
则曲线的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，所以，
因为，所以，解得，
设点为的中点，此时，
所以直线方程为，
令，解得．
故点为定点，坐标为．
17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求直线到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离．
解：（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，
因为，所以，即，
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，
，，，，
所以直线到直线的距离为；
（2）因为，平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离，
,，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，可得，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
（3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.
解：（1）依题意，，且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，而，则，
周长，
当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号，
所以周长的最大值为.
（2）设直线的方程为，，
由消去得：，显然，，
，
因此面积，
令，，
显然函数在上单调递增，
则当，即时，取得最小值，
所以当时，面积取得最大值3.
19. 过双曲线（常数）上任意一点A作轴，交y轴于点E，作轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广．
解：推广结论：设A是双曲线上任意一点，过点A分别作渐近线的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数．
证明：设，直线AE的方程为，
联立方程组，解得交点，
则，
点A到OE的距离，
平行四边形AEOF的面积，
又因为点在双曲线上，所以，即，
所以，是与点A位置无关的常数．