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2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）（含答案）
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这是一份2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y2=x的准线方程是( )
A. x=−12B. x=−14C. y=−12D. y=−14
2.若椭圆焦点在x轴上且经过点−4,0，焦距为6，则该椭圆的标准方程为( )
A. x216+y28=1B. x216+y27=1C. x29+y216=1D. x27+y216=1
3.在空间直角坐标系O−xyz中，点P(−2,3,1)到x轴的距离为( )
A. 2B. 3C. 5D. 10
4.若直线l:kx−y+4+2k=0与曲线y= 4−x2有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A. kk=±1B. {k|k<−34}
C. {k|−1≤k<−34}D. {k|−1≤k<34}
5.已知双曲线C:x23−y24=1的左顶点为A1，右焦点为F2，虚轴长为m，离心率为e，则( )
A. A1−3,0B. F21,0C. m=2D. e= 213
6.P,Q分别是抛物线x2=2y和x轴上的动点，M(2,−1)，则|PM|+|PQ|的最小值为( )
A. 5B. 52C. 5D. 2
7.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 5−12，把 5−12称为黄金分割数．已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y2( 5−1)2=1的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )
A. 2 5−2B. 5+1C. 2D. 2 5
8.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，直线l过点F2且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若PF1⋅PF2=0，则C的离心率为( )
A. 3B. 2C. 5D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆O1的方程为x−a2+y−b2=4，圆O2的方程为x2+y−b+12=1，其中a，b∈R.那么这两个圆的位置关系可能为( )
A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
10.已知曲线C的方程为x2m+y22−m=1，则( )
A. 当m=1时，曲线C表示一个圆
B. 当0C. 当m>2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线
D. 当m<0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
11.已知椭圆C:x216+y212=1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是( )
A. 椭圆C的离心率为 32B. ▵PF1F2的周长为12
C. PF1的最小值为3D. PF1⋅PF2的最大值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知A1,2t,2，Bt,0,3t−1，则AB的最小值是 ．
13.设F1、F2为双曲线Γ：x2a2−y29=1a>0左、右焦点，且Γ的离心率为 5，若点M在Γ的右支上，直线F1M与Γ的左支相交于点N，且MF2=MN，则F1N= ．
14.已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y2b2=1(b>0)的左､右焦点，P(2,53)为C上一点，则C的离心率为 ，△PF1F2内切圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆E经过点A0,0,B1,1，且被直线mx−y−m=0m∈R平分．
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
16.(本小题15分)
已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线x=−2的距离相等，若动点P的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)不过点F的直线与C交于横坐标不相等的A，B两点，且AF+BF=6，若AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：N为定点．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求直线FC1到直线AE的距离；
(2)求直线FC1到平面AB1E的距离．
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，短轴长为2 3，点M(− 3,− 32)在C上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点A(0,3)，点G为椭圆C上一点，求▵AGF2周长的最大值；
(3)过C的左焦点F1，且斜率不为零的直线l交C于P､Q两点，求▵F2PQ面积的最大值．
19.(本小题17分)
过双曲线y=kx(常数k>0)上任意一点A作AE//x轴，交y轴于点E，作AF//y轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S=k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，并证明你的推广．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.A
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.2 357或27 35
13.3
14.23；23
15.(1)
直线mx−y−m=0恒过点1,0．
因为圆E恒被直线mx−y−m=0m∈R平分，
所以mx−y−m=0恒过圆心，
所以圆心坐标为1,0，又圆E经过点A0,0，所以圆的半径r=1，
所以圆E的方程为(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0．
(2)
设Mx,y.因为M为线段AP的中点，所以P2x,2y，
因为点P是圆E上的动点，所以(2x)2+(2y)2−2×2x=0，
即x2+y2−x=0，所以M的轨迹方程为x2+y2−x=0．
16.(1)
因为动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线x=−2的距离相等，
所以动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，
此时p=4，
则曲线C的方程为y2=8x；
(2)
证明：设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y2=8xx=ty+m，消去y并整理得y2−8ty−8m=0，
此时Δ=64t2+32m>0，
解得2t2+m>0，
由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=−8m，
因为|AF|+|BF|=x1+x2+4=6，
所以x1+x2=2，
因为x1+x2=t(y1+y2)+2m=2，
所以8t2+2m=2，
解得4t2+m=1，
设点M为AB的 中点，
此时M(1,4t)，
所以直线MN的方程为y−4t=−t(x−1)，
令y=0，
解得xN=5．
故点N为定点，坐标为(5,0)．
17.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(1,1,1)，E0,0,12，F1,1,12，C1(0,1,1)，A(1,0,0)．
因为AE=−1,0,12，FC1=−1,0,12，
所以AE//FC1，即AE // FC1，
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离．
u=AE|AE|=−2 55,0, 55， AF=0,1,12.
AF2=54，AF⋅u= 510，
所以直线FC1到直线AE的距离为 54− 5102= 305．
(2)因为AE // FC1， AE ⊂平面AB1E， FC1⊄平面AB1E，
所以FC1 //平面AB1E，
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离．
C1B1=(1,0,0)，AB1=(0,1,1)，
设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB1=0,n⋅AE=0, 即y+z=0,−x+12z=0,取z=2，可得n=(1,−2,2)，
所以C1到平面AB1E的距离为|C1B1⋅n||n|=13，
所以直线FC1到平面AB1E的距离为13．
18.解：(1)依题意，b= 3，
且3a2+34b2=1，解得a=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)由(1)知，F1(−1,0),F2(1,0)，而A(0,3)，
则|AF1|=|AF2|= 10，
▵AGF2周长|AF2|+|AG|+|GF2|
=|AF2|+|AG|+4−GF1
⩽|AF2|+|AF1|+4=2 10+4，
当且仅当点G是线段AF1的延长线与椭圆C的交点时取等号，
所以▵AGF2周长的最大值为2 10+4；
(3)设直线l的方程为x=ty−1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，
由x=ty−13x2+4y2=12 ，
消去x得：(3t2+4)y2−6ty−9=0，
显然Δ>0，y1+y2=6t3t2+4,y1y2=−93t2+4，
|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2
= (6t3t2+4)2+363t2+4=12 t2+13t2+4，
因此▵F2PQ面积S=12|y1−y2|⋅|F1F2|
=12 t2+13t2+4=123 t2+1+1 t2+1，
令u= t2+1≥1，
3 t2+1+1 t2+1=3u+1u，
显然函数y=3u+1u在[1,+∞)上单调递增，
则当u=1，即t=0时，
3 t2+1+1 t2+1取得最小值4，
则Smax=3，
所以当t=0时，▵F2PQ面积取得最大值3．
19.推广结论：设A是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上任意一点，过点A分别作渐近线bx±ay=0的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数．
证明：设Ax0,y0，直线AE的方程为y−y0=−ba(x−x0)，
联立方程组y−y0=−ba(x−x0)y=bax，解得交点E(ay0+bx02b,ay0+bx02a)，
则OE= (ay0+bx02b)2+(ay0+bx02a)2=cay0+bx02ab，
点A到OE的距离d=bx0−ay0 b2+a2=bx0−ay0c，
平行四边形AEOF的面积S=OE×d=cay0+bx02ab×bx0−ay0c=b2x02−a2y022ab，
又因为点Ax0,y0在双曲线x2a2−y2b2=1上，所以x02a2−y02b2=1，即b2x02−a2y02=a2b2，
所以S=a2b22ab=12ab，是与点A位置无关的常数．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y2=x的准线方程是( )
A. x=−12B. x=−14C. y=−12D. y=−14
2.若椭圆焦点在x轴上且经过点−4,0，焦距为6，则该椭圆的标准方程为( )
A. x216+y28=1B. x216+y27=1C. x29+y216=1D. x27+y216=1
3.在空间直角坐标系O−xyz中，点P(−2,3,1)到x轴的距离为( )
A. 2B. 3C. 5D. 10
4.若直线l:kx−y+4+2k=0与曲线y= 4−x2有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A. kk=±1B. {k|k<−34}
C. {k|−1≤k<−34}D. {k|−1≤k<34}
5.已知双曲线C:x23−y24=1的左顶点为A1，右焦点为F2，虚轴长为m，离心率为e，则( )
A. A1−3,0B. F21,0C. m=2D. e= 213
6.P,Q分别是抛物线x2=2y和x轴上的动点，M(2,−1)，则|PM|+|PQ|的最小值为( )
A. 5B. 52C. 5D. 2
7.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 5−12，把 5−12称为黄金分割数．已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y2( 5−1)2=1的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )
A. 2 5−2B. 5+1C. 2D. 2 5
8.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，直线l过点F2且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若PF1⋅PF2=0，则C的离心率为( )
A. 3B. 2C. 5D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆O1的方程为x−a2+y−b2=4，圆O2的方程为x2+y−b+12=1，其中a，b∈R.那么这两个圆的位置关系可能为( )
A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
10.已知曲线C的方程为x2m+y22−m=1，则( )
A. 当m=1时，曲线C表示一个圆
B. 当0
D. 当m<0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
11.已知椭圆C:x216+y212=1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是( )
A. 椭圆C的离心率为 32B. ▵PF1F2的周长为12
C. PF1的最小值为3D. PF1⋅PF2的最大值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知A1,2t,2，Bt,0,3t−1，则AB的最小值是 ．
13.设F1、F2为双曲线Γ：x2a2−y29=1a>0左、右焦点，且Γ的离心率为 5，若点M在Γ的右支上，直线F1M与Γ的左支相交于点N，且MF2=MN，则F1N= ．
14.已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y2b2=1(b>0)的左､右焦点，P(2,53)为C上一点，则C的离心率为 ，△PF1F2内切圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆E经过点A0,0,B1,1，且被直线mx−y−m=0m∈R平分．
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
16.(本小题15分)
已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线x=−2的距离相等，若动点P的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)不过点F的直线与C交于横坐标不相等的A，B两点，且AF+BF=6，若AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：N为定点．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求直线FC1到直线AE的距离；
(2)求直线FC1到平面AB1E的距离．
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，短轴长为2 3，点M(− 3,− 32)在C上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点A(0,3)，点G为椭圆C上一点，求▵AGF2周长的最大值；
(3)过C的左焦点F1，且斜率不为零的直线l交C于P､Q两点，求▵F2PQ面积的最大值．
19.(本小题17分)
过双曲线y=kx(常数k>0)上任意一点A作AE//x轴，交y轴于点E，作AF//y轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S=k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，并证明你的推广．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.A
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.2 357或27 35
13.3
14.23；23
15.(1)
直线mx−y−m=0恒过点1,0．
因为圆E恒被直线mx−y−m=0m∈R平分，
所以mx−y−m=0恒过圆心，
所以圆心坐标为1,0，又圆E经过点A0,0，所以圆的半径r=1，
所以圆E的方程为(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0．
(2)
设Mx,y.因为M为线段AP的中点，所以P2x,2y，
因为点P是圆E上的动点，所以(2x)2+(2y)2−2×2x=0，
即x2+y2−x=0，所以M的轨迹方程为x2+y2−x=0．
16.(1)
因为动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线x=−2的距离相等，
所以动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，
此时p=4，
则曲线C的方程为y2=8x；
(2)
证明：设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y2=8xx=ty+m，消去y并整理得y2−8ty−8m=0，
此时Δ=64t2+32m>0，
解得2t2+m>0，
由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=−8m，
因为|AF|+|BF|=x1+x2+4=6，
所以x1+x2=2，
因为x1+x2=t(y1+y2)+2m=2，
所以8t2+2m=2，
解得4t2+m=1，
设点M为AB的 中点，
此时M(1,4t)，
所以直线MN的方程为y−4t=−t(x−1)，
令y=0，
解得xN=5．
故点N为定点，坐标为(5,0)．
17.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(1,1,1)，E0,0,12，F1,1,12，C1(0,1,1)，A(1,0,0)．
因为AE=−1,0,12，FC1=−1,0,12，
所以AE//FC1，即AE // FC1，
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离．
u=AE|AE|=−2 55,0, 55， AF=0,1,12.
AF2=54，AF⋅u= 510，
所以直线FC1到直线AE的距离为 54− 5102= 305．
(2)因为AE // FC1， AE ⊂平面AB1E， FC1⊄平面AB1E，
所以FC1 //平面AB1E，
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离．
C1B1=(1,0,0)，AB1=(0,1,1)，
设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB1=0,n⋅AE=0, 即y+z=0,−x+12z=0,取z=2，可得n=(1,−2,2)，
所以C1到平面AB1E的距离为|C1B1⋅n||n|=13，
所以直线FC1到平面AB1E的距离为13．
18.解：(1)依题意，b= 3，
且3a2+34b2=1，解得a=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)由(1)知，F1(−1,0),F2(1,0)，而A(0,3)，
则|AF1|=|AF2|= 10，
▵AGF2周长|AF2|+|AG|+|GF2|
=|AF2|+|AG|+4−GF1
⩽|AF2|+|AF1|+4=2 10+4，
当且仅当点G是线段AF1的延长线与椭圆C的交点时取等号，
所以▵AGF2周长的最大值为2 10+4；
(3)设直线l的方程为x=ty−1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，
由x=ty−13x2+4y2=12 ，
消去x得：(3t2+4)y2−6ty−9=0，
显然Δ>0，y1+y2=6t3t2+4,y1y2=−93t2+4，
|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2
= (6t3t2+4)2+363t2+4=12 t2+13t2+4，
因此▵F2PQ面积S=12|y1−y2|⋅|F1F2|
=12 t2+13t2+4=123 t2+1+1 t2+1，
令u= t2+1≥1，
3 t2+1+1 t2+1=3u+1u，
显然函数y=3u+1u在[1,+∞)上单调递增，
则当u=1，即t=0时，
3 t2+1+1 t2+1取得最小值4，
则Smax=3，
所以当t=0时，▵F2PQ面积取得最大值3．
19.推广结论：设A是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上任意一点，过点A分别作渐近线bx±ay=0的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数．
证明：设Ax0,y0，直线AE的方程为y−y0=−ba(x−x0)，
联立方程组y−y0=−ba(x−x0)y=bax，解得交点E(ay0+bx02b,ay0+bx02a)，
则OE= (ay0+bx02b)2+(ay0+bx02a)2=cay0+bx02ab，
点A到OE的距离d=bx0−ay0 b2+a2=bx0−ay0c，
平行四边形AEOF的面积S=OE×d=cay0+bx02ab×bx0−ay0c=b2x02−a2y022ab，
又因为点Ax0,y0在双曲线x2a2−y2b2=1上，所以x02a2−y02b2=1，即b2x02−a2y02=a2b2，
所以S=a2b22ab=12ab，是与点A位置无关的常数．
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