第4章 相交线和平行线单元测试卷-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（华东师大版）

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1．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC=34∘，则∠BOD的度数为（ ）
A．17°B．34°C．56∘D．146∘
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质：对顶角相等，掌握这一性质是解题的关键；根据对顶角相等即可作答．
【详解】解：∠BOD=∠AOC=34°；
故选：B．
2．已知三角形ABC，用直角三角板过点A作直线BC的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可．
【详解】解：选项A中三角板过点A，但不垂直BC，故不符合题意；
选项B中三角板过点A，且垂直BC ，故符合题意；
选项C中三角板不过点A，故不符合题意；
选项D中三角板过点A，但不垂直BC，故不符合题意，
故选：B．
3．如图，直线EF分别交∠AOB的两边于点C，D，则∠ACE和∠BDE的位置关系是（ ）
A．内错角B．对顶角C．同旁内角D．同位角
【答案】D
【分析】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键．
结合图形，根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行判断即可．
【详解】根据题意可得，∠ACE和∠BDE的位置关系是同位角．
故选：D．
4．如图，一根粗细均匀的弯形管道两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．若∠B＝60°，则∠C为（ ）
A．120°B．90°C．60°D．30°
【答案】A
【分析】本题考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是理解两直线平行，同旁内角互补．
根据“两直线平行，同旁内角互补”直接求出∠C．
【详解】解：∵AB∥DC，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°．
故选：A．
5．如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（ ）
A．线段AP1的长 B．线段BP1的长 C．线段CP2的长 D．线段CP的长
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短．
【详解】解：根据垂线段的性质，则表示该运动员成绩的是线段BP1的长度，
故选B．
6．如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
由垂线段最短，即可得到答案．
【详解】解：PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是垂线段最短．
故选：D
7．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板∠BAC=30°，∠ACB=90°按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，由题意可得∠MAC=50°，进而根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=30°，∠1=20°，
∴∠MAC=20°+30°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠MAC=50°，
故选：B．
8．如图，当光线从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这就是光的折射现象．其中∠1的对顶角是（ ）
A．∠AOBB．∠BOCC．∠AOCD．∠AOD
【答案】A
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，∠1的对顶角是∠AOB，
故选：A．
9．如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠1=∠3D．∠1=∠4
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行逐项判断解题即可．
【详解】解：A.∠1=∠2不能判定任何一组直线平行，故本选项错误；
B、∵∠2=∠3，∴AD∥BC，故本选项错误；
C、∠1=∠3，不能判定任何一组直线平行，故本选项错误；
D、∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故本选项正确；
故选：D．
10．木工王师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得同位角相等，两直线平行，
故选：A．
11．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知AB∥CD，AF∥DE，∠1=90°，∠2=115°，∠C=130°，则∠CBE的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，延长AB交DE于点F，求出∠EBM=25°和∠CBM=50°，即可得到答案．
【详解】解：延长AB交DE于点F，
∵AF∥DE,∠1=90°，
∴∠BME=90°，
∵∠2是△BME的外角，
∴∠2=∠BME+∠EBM，
∵∠2=115°，
∴∠EBM=25°，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠CBM=180°，
∵∠C=130°，
∴∠CBM=50°，
∴∠CBE=∠CBM+∠EBM=75°，
故选D．
12．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2=30°，那么AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，那么∠2=30°；④如果∠CAD=150°，那么∠4=∠C；正确的是（ ）
A．①②③B．①②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角板中角度的计算，根据角的和差关系，结合平行线的判定方法，平行线的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图可知：∠CAB=∠EAD=90°,∠B=∠C=45°,∠D=30°,∠D=60°，
当∠2=30°时，则：∠CAD=∠CAB−∠2+∠EAD=90°−30°+90°=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC∥DE；故①正确；
∵∠CAD+∠BAE=∠CAB−∠BAE+∠EAD+∠BAE=∠CAB+∠EAD=90°+90°=180°，
故②正确；
当BC∥AD时，则：∠3=∠B=45°，
∴∠2=∠EAD−∠3=45°，故③错误；
当∠CAD=150°时，则：∠CAD+∠D=180°，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C；故④正确；
故选D．
填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD=76°，则∠COD= 度．
【答案】38
【分析】本题考查了对顶角相等，由对顶角相等得出∠AOB=∠COD，结合题意计算即可得解，熟练掌握对顶角相等是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：∠AOB=∠COD，
∵∠AOB+∠COD=76°，
∴∠COD=38°，
故答案为：38．
14．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=96°，∠2=67°，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是 ．（旋转度数在0°至180°之间）
【答案】29°或151°
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
根据平行线的判定可得∠2=∠1=96°时，木条a与b平行，然后进行计算即可解答．
【详解】解：当∠2=∠1=96°时，木条a与b平行，
∴要使木条a与b平行，木条b逆时针旋转的度数=96°−67°=29°
或顺时针旋转的度数180°−96°−67°=151°，
故答案为：29°或151°．
15．如图，∠1=120°,∠2=60°,∠3=100°，则∠4= 时，AB∥EF．
【答案】100°/100度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，可证明∠2=∠5=60°，得到AB∥CD，则当∠4=∠3=100°时，CD∥EF，即AB∥EF．
【详解】解；∵∠1=120°，
∴∠5=180°−∠1=60°，
∴∠2=∠5=60°，
∴AB∥CD，
∴当∠4=∠3=100°时，CD∥EF，即AB∥EF．
故答案为：100°
16．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿EF折叠，若∠A'EF=40°，则∠A'GC的度数是 °．
【答案】100
【分析】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算．
根据折叠的性质可知∠AEF=∠A'EF=40°，再由邻补角求出∠DEG=100°，再根据平行线的性质即可求∠A'GC．
【详解】解：由题知∠AEF=∠A'EF=40°，AD∥BC，
∵∠DEG+∠AEA'=180°，
∴∠DEG=180°−(∠AEF−∠A'EF)=100°，
∵AD∥BC，
∴∠A'GC=∠DEG=100°，
故答案为：100．
三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，直线AB,CD,EF相交于点O，若∠AOC=65°，∠DOF=50°．
(1)试说明：射线OA平分∠COF；
(2)求∠BOE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BOE=65°
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角的性质、平角的意义以及角平分线的定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）利用平角的定义求出∠AOF，即可证明；
（2）由对顶角相等即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠AOC=65°，∠DOF=50°，
∴∠AOF=180°−∠AOC−∠DOF=65°，
∴∠AOC=∠AOF，
∴射线OA平分∠COF；
（2）解：∵∠AOF=65°，∠BOE=∠AOF，
∴∠BOE=65°．
18．已知：如图，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠1=∠2，请问DG∥BC吗？如果平行，请说明理由．
【答案】平行，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，正确识别“三线八角”是解题关键．
欲证明DG∥BC，则要证明∠2=∠BCD，由CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可证明CD∥EF即∠1=∠3，从而∠2=∠3即可得证，推出结论．
【详解】答：平行
证明：∵CD⊥AB,EF⊥AB（已知），
∴∠BFE=∠FDC=90°（垂直定义），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴GD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
19．将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M，N,∠1=∠2,∠A=∠F．
求证：∠C=∠D．
证明：因为∠1=∠2（已知）
又因为∠1=∠ANC（____________），
所以___________（等量代换）．
所以BD∥CE（ ）
所以∠ABD=∠C（____________）．
又因为∠A=∠F（已知），
所以DF∥AC（____________）．
所以__________（ ）．
所以∠C=∠D（ ）．
【答案】（对顶角相等）；（∠2=∠ANC）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，同位角相等）；（内错角相等，两直线平行）；（∠D=∠ABD）；（两直线平行，内错角相等）；（等量代换）．
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键．
根据∠2=∠ANC得到BD∥CE，则∠ABD=∠C，所以有DF∥AC，根据平行线的性质即可求解．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），
又∵∠1=∠ANC（对顶角相等），
∴∠2=∠ANC（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠ABD=∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A=∠F（已知），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠ABD（两直线平行，内错角相等），
∴∠C=∠D（等量代换）．
20．如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°.
(1)请判定直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠2:∠3=2:5，求∠BOF的度数.
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)140°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．
（1）由角平分线定义可得∠AOC=12∠COE,∠2=12∠DOE，则可求得∠AOC+∠2=90°，从而可求得∠1=∠AOC，即可判定AB∥CD；
（2）由（1）可知∠2+∠AOC=90°，再根据对顶角性质求解即可．
【详解】（1）解：AB∥CD；理由如下：
∵OA,OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOC=12∠COE,∠2=12∠DOE，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠AOC+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）得：∠2+∠AOC=90°，
∵∠COE=∠3，OA平分∠COE，
∴∠AOC=12∠3，
∴∠2+12∠3=90°，
∵∠2:∠3=2:5，
∴∠3=52∠2，
∴∠2+12×52∠2=90°，
解得：∠2=40°，
∴∠3=100°，
∴∠BOF=∠2+∠3=140°．
21．如图，射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A；
(2)用含∠A的式子表示∠CBD为________（直接写出答案）；
(3)当点P在射线AM上运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)90°−12∠A
(3)∠APB=2∠ADB，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质，可得∠ABN=180°−∠A=120°，再结合角平分线的定义，可得∠PBD+∠CBP=12∠PBN+∠ABP=12∠ABN，即可求解；
（2）根据平行线的性质，可得∠ABN=180°−∠A，再结合角平分线的定义，可得∠PBD+∠CBP=12∠PBN+∠ABP=12∠ABN，即可求解；
（3）根据平行线的性质，可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠NBD，再结合角平分线的定义，可得∠PBN=2∠NBD，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AM∥BN，∠A=60°，
∴∠ABN=180°−∠A=120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠PBD=12∠PBN，∠CBP=12∠ABP，
∴∠PBD+∠CBP=12∠PBN+∠ABP=12∠ABN，
∴∠CBD=∠PBD+∠CBP=12∠ABN=60°，
∴∠CBD=∠A；
（2）解：∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°−∠A，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠PBD=12∠PBN，∠CBP=12∠ABP，
∴∠PBD+∠CBP=12∠PBN+∠ABP=12∠ABN，
∴∠CBD=∠PBD+∠CBP=12∠ABN=90°−12∠A，
（3）解：∠APB与∠ADB之间的数量关系是：∠APB=2∠ADB，
理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠NBD，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD，
∴∠APB=2∠ADB．
22．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板∠F=90°．
(1)如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠2=110°，求∠1的度数；
(2)如图2，过点E作CD∥AB，请探索并说明∠AGF与∠CEF之间的数量关系；
(3)将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方，在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)25°
(2)∠AGF+∠CEF=90°，见解析
(3)①当点F在直线CD的上方时，∠AGF−∠CEF=90°．②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC=90°．③当点F在直线AB的下方时，∠CEF−∠AGF=90°
【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1=∠EGB，结合∠2+∠FGE+∠EGB=180°,∠FGE=45°，可求出∠1的度数；
（2）过点F作FP∥AB，得到FP∥AB∥CD，通过平行线的性质把∠AGF和∠CEF转化到∠EFG上即可；
（3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线CD的上方时，②当点F在直线AB与直线CD之间时，．③当点F在直线AB的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGB，
∵∠2=110°，
∵∠2+∠FGE+∠EGB=180°,∠FGE=45°，
∴110°+45°+∠EGB=180°，
∴∠EGB=25°
即∠1=25°．
（2）解：∠AGF+∠CEF=90°， 理由如下：
如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AGF=∠GFP，∠FGC=∠GFP，
∴∠AGF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°；
（3）解：①如图3-1中，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB．
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD∥AB，
∴∠AGF=∠NFG，∠CEF=∠NFE，
∵∠NFG−∠NFE=∠GFE=90°，
∴∠AGF−∠CEF=90°．
②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC=90°．
③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB．
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD∥AB，
∴∠AGF=∠NFG，∠CEF=∠NFE，
∵∠NFE−GFN=∠GFE=90°，
∴∠CEF−∠AGF=90°．
综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF−∠CEF=90°．
②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC=90°．
③当点F在直线AB的下方时，∠CEF−∠AGF=90°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．【问题情境】
学完平行线的性质与判定后，老师给出如下问题：如图1，点E在线段BC上，∠A=∠D，∠ACB+∠BED=180°，AB与CD平行吗？为什么？
【问题解决】
（1）请解答老师提出的问题．（提示：延长DE交AB于点F）
【深入探究】
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，DH平分∠EDF交GB的延长线于点H，过点H作HN∥CD，用等式表示∠DEB与∠DHG的数量关系．（提示：过点E作AB的平行线）
【特例探究】
（3）在（2）的基础上，若∠DEB比∠DHG大60°，请直接写出∠DEB的度数．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠DEB=180°−2∠DHG；（3）100°．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）延长DE交AB于点F，由∠ACB+∠BED=180°，∠BED=∠CEF，证明AC∥DF，所以∠A=∠DFB，又∠A=∠D，则∠DFB=∠D，从而求证；
（2）过点E作AB∥EM的平行线，则有AB∥HN∥EM∥CD，所以∠ABG=∠NHB，∠ABE=∠MEB，∠DEM+∠EDF=180°，∠FDH=∠NHD，因为BG平分∠ABE，DH平分∠EDF，所以∠ABG=∠EBG=12∠ABE，∠EDH=∠FDH=12∠EDF，然后通过线段和差即可求解；
（3）利用（2）中结论即可求解．
【详解】解：（1）平行，理由如下，
如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED=180°，∠BED=∠CEF，
∴∠ACB+∠CEF=180°，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠DFB，
∵∠A=∠D，
∴∠DFB=∠D，
∴AB∥CD；
（2）∠DEB=180°−2∠DHG，理由如下，
如图2，过点E作AB∥EM的平行线，
∵AB∥CD，HN∥CD，
∴AB∥HN∥EM∥CD，
∴∠ABG=∠NHB，∠ABE=∠MEB，∠DEM+∠EDF=180°，∠FDH=∠NHD，
∵BG平分∠ABE，DH平分∠EDF，
∴∠ABG=∠EBG=12∠ABE，∠EDH=∠FDH=12∠EDF，
∴∠MEB=2∠ABG=2∠NHG，
∴∠NHG+∠DHG=12∠EDF，
∴∠EDF=2∠NHG+2∠DHG，
∴∠DEM=180°−2∠NHG−2∠DHG，
∴∠DEB=∠DEM+∠MEB=180°−2∠NHG−2∠DHG+2∠NHG=180°−2∠DHG，
即∠DEB=180°−2∠DHG；
（3）∵∠DEB比∠DHG大60°，
∴∠DEB−∠DHG=60°，
由（2）得∠DEB=180°−2∠DHG
∴∠DEB=100°．