第4章 相交线和平行线单元复习-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（华东师大版）

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【考点1 对顶角、邻补角】
【考点2：垂线】
【考点3：平行线公理】
【考点4：同位角，内错角和同旁内角】
【考点5：两直线平行的条件】
【考点6：利用平行线的性质求角】
【考点7：平行线与折叠综合】
【考点8：平行线的生活中的实际应用】
【考点9：平行线的性质与判定综合】
【考点10：两平行线间距离的性质】
知识点1：对顶角和邻补角
1. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。

2. 对顶角的性质：对顶角相等。
3. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°
知识点2：垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.

3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．

图4
如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。

知识点3：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。

知识点4：平行线公理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
知识点5：平行线的判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点6：平行线的性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【考点1 对顶角、邻补角】
1．（2025七年级下·河南·专题练习）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，直线AB,CD,EF相交于点O．若∠1=40°,∠AOD=110°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．72°C．75°D．80°
3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=72°，则∠DOE= ．
4．（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，两条直线相交，若∠1+∠2=260°，则∠3=
5．（24-25七年级下·北京延庆·期中）如图，直线AB, CD相交于点O，OB平分∠DOE．
(1)∠BOD对顶角是___________；
(2)若∠AOC:∠COE=1:4，求∠AOD的度数．
6．（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，直线AE、BF相交于点O，CO⊥BF，垂足为O，∠AOB=30°，OD平分∠COE，求∠BOD的度数．
【考点2：垂线】
1．（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线MN，下列各图中，三角尺摆放正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·北京大兴·二模）如图，∠AOD=120°,CO⊥AO,OB平分∠AOC，则∠BOD的大小为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ．
【考点3：平行线公理】
1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如果a∥b，b∥c，d⊥a，那么下列结论正确的是（ ）
A．b⊥dB．a⊥cC．b∥dD．c∥d
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB∥CD，AB∥CE，则点C、D、E在同一直线上，理由是 ．
CD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，理由是 ．
【考点4：同位角，内错角和同旁内角】
1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1和∠B是同位角B．∠2和∠3是内错角
C．∠3和∠4是邻补角D．∠4和∠D是同旁内角
3．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，下列结论正确的是（ ）
A．∠1与∠5是内错角B．∠2与∠3是邻补角
C．∠1与∠4是同位角D．∠2与∠5是对顶角
4．（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，下列结论错误的是（ ）
A．∠3和∠1是同位角B．∠A和∠B是同旁内角
C．∠4和∠1是内错角D．∠3和∠2是对顶角
5．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在“垃圾入桶”标志的部分平面示意图中，∠1与∠2的位置关系是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
6．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，下列选项描述正确的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角B．∠3和∠5是同旁内角
C．∠1和∠5是邻补角D．∠2和∠6是同位角
【考点5：两直线平行的条件】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠5B．∠4=∠2C．∠2=∠3D．∠1+∠4=180°
2．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，直线m，n分别被直线a，b所截，下列条件中，能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2=∠4
C．∠1+∠4=180°D．∠3+∠4=180°
3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示，下列条件能判定AD∥BC的是( )
A．∠1=∠4B．∠6=∠4
C．∠BAD+∠5=180°D．∠2=∠3
4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中：①∠DAC+∠ACE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠D=∠5；⑤∠1=∠5，能判定AD∥BC的有（ ）
A．①②④B．①③④C．③⑤D．②④⑤
5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2+∠5=∠6；④∠DAB+∠2+∠3=180°．
A．①④B．①③C．①③④D．①②③④
6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠4=∠2B．∠2=∠3C．∠3=∠4D．∠4=∠5
【考点6：利用平行线的性质求角】
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
A．135°B．55°C．115°D．125°
2．（2025·陕西榆林·三模）如图，AB∥EF，BC∥DE，∠B=50°，则∠DEF=（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
3.（24-25七年级下·山西朔州·期中）2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧BOT》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂AB∥CD,∠B=∠D,∠BED=104°，则∠B的度数为（ ）
A．166°B．128°C．104°D．100°
4．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=105°，∠2=40°，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
5．（2025·安徽滁州·二模）将直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1=10°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【考点7：平行线与折叠综合】
1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A'处，点D落在D'处，A'E交CD于点G．若∠AEF=40°，则∠A'GC=（ ）．
A．100°B．120°C．140°D．160°
2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若∠1=112°，则∠2的度数为（ ）
A．34°B．44°C．39°D．56°
3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在点D'，C处，若∠1=58°，则∠BFC'的度数是 ．
4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC= °
【考点8：平行线的生活中的实际应用】
1．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线CE射向容器液面AB，折射后光线由EC方向变成CD方向．若∠ECB=45°,∠CDF=55°，则∠ECD的度数为（ ）
A．155°B．165°C．170°D．175°
2．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，击打一次台球桌上小球A，经过两次反弹拐弯后滚动的方向与开始滚动的方向相反，小球这两次反弹拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO=158°，则∠DCE=（ ）
A．58°B．68°C．32°D．22°
4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯AB和折臂的底座CD都与地面MN垂直，同时上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=78°，下折臂与底座CD的夹角∠CDE=120°，那么上折臂AE与路灯AB的夹角∠BAE的度数为（ ）
A．32°B．42°C．55°D．60°
5．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行， ∠BCD=60°,∠BAC=50°，若 AM∥BE，则 ∠MAC的度数为（ ）

A．15°B．65°C．70°D．75°
6．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD=24°，∠FCN=25°，则∠ABC的大小为 ．
7．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则∠DCE的度数为 ．

【考点9：平行线的性质与判定综合】
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在三角形ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，点E在AB上，过点E作FE⊥AB，若AC于点H，延长BC至点G，连接FG，∠ACD+∠F=180°．
(1)AC与FG平行吗？请说明理由；
(2)若∠F=3∠G，∠BCD：∠ACD=2：3，求∠BCD的度数．
2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．
如图，AD∥BC,∠1=∠B,∠2=∠3．试判断：AF与DC的位置关系？并说明理由．
解：AF与DC的位置关系是_____，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠DEC_____，
又∵∠1=∠B（已知），
∴∠B=∠_____（______），
∴AB∥DE_____，
∴∠2=∠AGD_____，
又∵∠2=∠3（已知），
∴∠3=∠AGD_____，
∴AF∥DC（_______）．
3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED=∠C，∠1+∠2=90°．
(1)求证：FH⊥DE；
(2)若∠3=∠4，∠BAC=72°，求∠DFH的度数．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，点D, E, F, G都在三角形ABC的边上，BD∥EF, ∠BEF+∠BDG=180°．
(1)求证：DG∥BC；
(2)若∠EFC=120°，DG平分∠ADB，求C的度数．
5．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形ABC中，点D,F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°．
(1)判断EH与AD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠DGC=58°，且∠H=∠4+10°，求∠H的度数．
6．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知∠3=∠BAE、AC⊥BE，∠1=∠2，∠3+∠4=180°．求证：
(1)AB∥CD；
(2)若∠D=30°，求∠DCE．
【考点10：两平行线间距离的性质】
1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离为7cm，b与c的距离为4cm，则a与c的距离是（ ）
A．11cmB．3cmC．11cm或3cmD．以上都不对
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AD∥BC．若AB=3cm,AD=4cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．3cmB．4cmC．3cm或4cmD．不确定
3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．2cmB．8cmC．2cm或9cmD．以上都不对
4．（2025·北京·模拟预测）如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是线段 的长度
5．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若BD=9，△ABD的面积为27，△ACE的面积为18，则AE= ．

6．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，a∥b，点B，C在直线a上，点A在直线b上，AB⊥AC，AB=6，AC=8，BC=10，则图中a与b之间的距离为 ．