山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】点关于面对称的点的坐标为.
故选：A.
2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】因为直线和直线平行，
所以，解得，
当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去.
故选：B
3. 在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为点M在线段上，且，N为中点，
所以,
故选：D.
4. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据直线的方向向量为，故可设直线方程为，
代入即可得，故直线方程为，
故选：B.
5. 正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
故，
故直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
6. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设过且有斜率的直线位，
曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆，
由直线与圆相切可得，解得或，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
由图象可得，或．
故选：C．

7. 在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在平行六面体中，取，，，
，，，
，，
而，
则
，即，
设，
则，
由于与共面，
故存在实数，使得
，
故，解得，故，
故选：A.
8. 过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆的圆心C-2,0，半径
∵，是圆的两条切线，
则，且、、、四点共圆，
∴，即，
∵，所以，
当PC最小，即直线时，AB取得最小值，
此时直线方程为，即，
联立，解得，即，
则以为直径的圆的方程为，
即，
∵圆，两圆相交，
两圆方程相减即为的方程.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则
B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
C. 已知向量，，若，则为钝角
D. 在四面体中，若Q为的重心，则
【答案】BD
【解析】若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则或，故A不正确；
若为空间的一个基底，则不共面，假设共面，
则，则共面，矛盾，
故不共面，所以可构成空间的另一个基底，故B正确；
已知向量，，则，
若，则，但当时，，故为钝角或平角，故C不正确；
在四面体中，若Q为的重心，
设为的中点，则，
所以
，
所以，故D正确.
故选：BD.
10. 已知直线与圆，则（ ）
A. 当时，直线平分圆C
B. 直线与圆C总有两个公共点
C. 直线被圆C截得的最短弦长为
D. 被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条
【答案】ABD
【解析】A.当时，直线，圆的圆心在直线上，所以直线平分圆C，故正确；
B. 直线过定点，且，则定点在圆内，所以直线与圆C总有两个公共点，故正确；
C.直线被圆C截得的最短弦长时，圆心和定点的连线与直线l垂直，又， 直线被圆C截得的最短弦长为，故错误；
D. 当被圆C截得的弦长为时，圆心到直线的距离为，解得，所以这样的直线有且只有1条，故正确；
故选：ABD.
11. 正方体的棱长为，点是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A. 若是线段上的动点，则
B. 若是线段上的动点，的最小值为
C. 若是的中点，且，则点的轨迹围成图形的面积为
D. 若分别是线段，的中点，当在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是
【答案】AD
【解析】对于A：连接，如下图所示，
因为平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
对于B：连接，将平面与展开成一个平面，如下图所示，
当三点共线时，取最小值，最小值即为长度，
因为，
所以，
所以，
所以，所以的最小值为，故B错误；
对于C： 分别取的中点，依次连接，
由三角形中位线性质线可得，，，，
且，所以六边形为平面正六边形，
连接，如下图，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以；
同理可证，平面，
所以平面，
所以的轨迹围成的图形即为正六边形，
所以面积为，故C错误；
对于D：建立空间直角坐标系如图所示，设，
因为，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，所以，
取，则，所以，
因为，且平面，所以，
所以，所以，
所以，
当时，此时有最小值，最小值为，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】假设圆心，半径为，则圆的标准方程为
直线的一般式为，
依题意圆心到直线的距离等于圆的半径
所以
所以，取则，所以圆的标准方程为，
故答案为：（答案不唯一）
13. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______．
【答案】
【解析】因为，则，且向量在向量上的投影向量是，
所以，即，所以，
故答案为：.
14. 已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为______；若点是圆上的动点，则的最大值为______
【答案】
【解析】因为直线，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线：过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的圆，
故点的轨迹为圆；
的圆心，半径，
所以的最大值是．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
（1）证明：以D原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则A2,0,0，，，，．
所以，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
所以，令得，，
所以，又平面，
所以平面；
（2）解：，点F到平面的距离，
由题意可知，，，
，，
所以，
所以，三棱锥的体积.
16. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
（1）求直线方程和点C的坐标；
（2）求的面积．
解：（1）因为边上的高所在直线方程为，
的平分线所在的直线方程为，
所以联立，得，
设点关于直线的对称点为，
所以解得，即，
所以，所以直线的方程为．
因为边上的高所在直线方程为，
所以设直线的方程为，代入，得，
所以直线的方程为，
联立，解得．
（2）因为边所在直线方程为，
所以，点A到直线的距离，
，
所以．
17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．

（1）证明：平面平面；
（2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值．
（1）证明：取中点，连结，，，
由题意，在中，，，
所以为等边三角形，所以，
因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
所以，为二面角的平面角，
在中，，，，
所以，
可得，所以，
所以，平面平面．
（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则，B1,0,0，，，．
所以，，
由于为棱中点，故，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
所以，直线与平面所成角的余弦值为．

18. 已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点．
（Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
解：（1）设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，
且M是线段的中点，所以，，
于是，①
因为点A在圆上上运动，
所以点A坐标满足圆的方程，即②，
把①代入②，得，整理，得；
（2）（Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设，
设，，将代入，
并整理，得，
∴，，
则，
，
∴
，
所以为定值，且定值为12；
（Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设，
设，，将代入，
并整理，得，
∴，，
∴，
∴或，
经检验， 时，此时直线与圆没有两个交点，
即中，所以，
所以，直线的方程为．
19. 如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点．
（1）若N为的中点，证明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．
（1）证明：设，
可知的面积，的面积，
三棱台的体积，
即，所以．
连接，可得，，所以，即，
因为M，N分别为，的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以，
由M为的中点，所以，又，、平面，
所以平面，又平面，所以，
又，、平面，所以平面；
（2）解：以M为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
所以
令，，
易知平面的法向量n=0,1,0，
设二面角所成角为，
则，
所以二面角所成角的余弦值为；
（3）解：设，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
因为，设直线与平面所成角为，
则，
整理得，即或，
所以，当点N为线段的三等分点时，
直线与平面所成角的正弦值为．