2024-2025学年陕西省榆林市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省榆林市高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,4}，则( )
A. 2∈MB. 3∉MC. 4∈MD. 5∉M
2.已知复数z=1−i1+i，则|z|等于( )
A. −iB. 1C. −1D. 2i
3.已知向量a=(1,1)，b=(−1,1)，则a⋅(2a−b)=( )
A. −4B. −3C. 3D. 4
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a6=11，则S8=( )
A. 43B. 44C. 87D. 88
5.若正四棱锥的高为 6，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为( )
A. 4B. 8C. 12D. 24
6.已知随机变量X服从正态分布N(4,σ2)，若P(X1−a)，则a=( )
A. −1B. 0C. 2D. 6
7.已知tanα=1−sinβcsβ，且α,β∈(0,π2)，则下列选项正确的是( )
A. α+β=π2B. 2α−β=π2C. 2α+β=π2D. 2α+β=π
8.已知函数f(x)=ex−e−x−2sinx，若f(aex)+f(1−x)>0恒成立，则a的取值范围是( )
A. (−∞,1e2)B. (−∞,1e)C. (1e2,+∞)D. (1e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=2sin(2x−π3)，则下列选项正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于点(−π3,0)中心对称
B. 函数f(x)图象的对称轴是直线x=5π12+kπ(k∈Z)
C. 函数f(x)在[0,π3]上的最大值为 3
D. 函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度后为奇函数的图象
10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3−3x+1，则( )
A. f(0)=0B. 当x0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P、N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|=3|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB= 3bcsA．
(1)求角A的大小；
(2)若a= 6，b=2，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2AD，E，F分别为AB，PC的中点．
(1)求证：直线EF//平面PAD；
(2)若AD=2，求侧面PBC与底面ABCD所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知f(x)=lnx．
(1)证明：xf(x)≥x−1；
(2)若f(x)≤ax−12在(0,+∞)上恒成立，求实数a的最小值．
18.(本小题17分)
甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为13，乙在A点的命中率为1−p(0E(Y)，求p的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 22．
(1)若椭圆E过点(2, 2)，求椭圆E的标准方程．
(2)若直线l1，l2均过点P(pn,0)(00)，
则ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2，
令ℎ′(x)=0，解得x=1．
当00)，
则φ′(x)=2x⋅2x−2(2lnx+1)4x2=1−2lnx2x2，
令φ′(x)=0，解得x= e．
当00，φ(x)单调递增；
当x> e时，φ′(x)0，
则t(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，
因为t′(x)=1x−a．
若a≤0，t(1)=−a+12>0与已知矛盾，舍去；
若a>0，令t′(x)=0，解得x=1a．
当01a时，t′(x)E(Y)，
所以53>5−8p，即p>512，
所以p的取值范围是(512,12]．
19.解：(1)因为e=ca= 22，
又a2=b2+c2，
所以a2=2b2，
此时椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1，
因为椭圆E过点(2, 2)，
所以42b2+2b2=1，
解得b2=4，
则椭圆E的标准方程为x28+y24=1；
(2)(i)当直线l1，l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，
此时直线MN与x轴重合，不符合题意，
所以直线l1，l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y=k(x−pn)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，N(xN,yN)，
联立x22b2+y2b2=1y=k(x−pn)，消去y并整理得(1+2k2)x2−4k2pnx+2k2pn2−2b2=0，
由韦达定理得x1+x2=4pnk21+2k2，x1x2=2k2pn2−2b21+2k2，
所以xM=2pnk21+2k2，yM=−pnk1+2k2，
同理得xN=2pnk2+2，yN=pnkk2+2，
因为M，N，Q三点共线，
所以yN(xN−xM)=(yN−yM)(xN−tn)，
易知yN−yM≠0，
所以tn=xMyN−xNyMyN−yM=2pnk21+2k2⋅pnkk2+2−2pnk2+2⋅−pnk1+2k2pnkk2+2−−pnk1+2k2=2pn3，
因为pn=13n，
所以tn=23n+1；
(ii)由(i)知an=|PQ|=|pn−tn|=|13n−23n+1|=13n+1，
所以1an=3n+1，
则数列{1an}是以首项为9，公比为3的等比数列，
则数列{1an}的前n项和Sn=9(1−3n)1−3=92(3n−1)． X
0
2
3
5
P
49
29
29
19
Y
0
2
3
5
P
2p2
2p−2p2
p−2p2
2p2−3p+1