2024-2025学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学卷（B卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学卷（B卷）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z1，z2是复数，则“z1+z2=z1−z2”是“z1z2=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知向量a,b满足a⋅a−2b=0，则b在a上的投影向量为( )
A. −2aB. 12aC. − 2aD. 2 2a
3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，对于下列两个命题：①平面BCC1B1上存在一条直线，与平面A1C1E平行；②平面BCC1B1上存在一条直线，与平面A1C1E垂直．则( )
A. ①对，②对B. ①对，②错C. ①错，②对D. ①错，②错
4.正方体ABCD−A′B′C′D′中，直线a⊂平面ABCD，直线b⊂平面DAB′C′，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为Ω.给出下列四个命题：
①Ω中可能恰有2条直线与a异面； ②Ω中可能恰有4条直线与a异面；
③Ω中可能恰有8条直线与b异面； ④Ω中可能恰有10条直线与b异面．
其中，正确命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知i是虚数单位，复数z满足z⋅(1+ 3i)=1，则|z|= ．
6.已知sin(α+β)=13, a=sinα, sinβ, b=csβ, csα，则a⋅b= ．
7.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若b2+c2=a2+bc，且bc=8，则ΔABC的面积等于 ．
8.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为 ．
9.已知i是虚数单位，若z∈C，且|z−2−2i|=3，则|z|的取值范围为 ．
10.如图，在▵ABC中，点D是线段BC上动点，且AD=xAB+yAC，则1x+9y的最小值为 ．
11.已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ．
12.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为150°，测得从D、C两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为DA=20 3m、CB=40m，且AB=20m，则甲乙两人相距_ _m．
13.如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为4，若将其截去三棱锥B1−BD1C1，则剩余几何体的体积为 ．
14.已知f(x)=sinωx+π4(ω>0)，如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有f(m)≤f(x)≤f(m+1)成立，则ω的最小值为 ．
15.关于x的实系数方程x2−4x+5=0和x2+2mx+m=0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是 ．
16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，四分之一圆柱BB1C1−AA1D1与四分之一圆柱AA1B1−DD1C1公共部分是八分之一的“牟合方盖”.已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知向量a=sinx, 3,b=csx,1．
(1)若a//b，求sinx+ 3csx 3sinx−csx的值；
(2)设f(x)=a− 3b2,x∈0,π2，若关于x的不等式f(x)=m2−1有解，求实数m的取值范围．
18.(本小题14分)
如图，四边形ABCD是矩形，AD=2, DC=1，AB⊥平面BCE，BE= 3, EC=1.点F为线段BE的中点．
(1)求证：EC⊥平面ABE；
(2)求异面直线AF与DE所成的角的大小．
19.(本小题14分)
已知i是虚数单位，设f(z)=z, Rez≥0−z, Rez