2024-2025学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学卷（B卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学卷（B卷）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z1，z2是复数，则“z1+z2=z1−z2”是“z1z2=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知向量a,b满足a⋅a−2b=0，则b在a上的投影向量为( )
A. −2aB. 12aC. − 2aD. 2 2a
3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，对于下列两个命题：①平面BCC1B1上存在一条直线，与平面A1C1E平行；②平面BCC1B1上存在一条直线，与平面A1C1E垂直．则( )
A. ①对，②对B. ①对，②错C. ①错，②对D. ①错，②错
4.正方体ABCD−A′B′C′D′中，直线a⊂平面ABCD，直线b⊂平面DAB′C′，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为Ω.给出下列四个命题：
①Ω中可能恰有2条直线与a异面； ②Ω中可能恰有4条直线与a异面；
③Ω中可能恰有8条直线与b异面； ④Ω中可能恰有10条直线与b异面．
其中，正确命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知i是虚数单位，复数z满足z⋅(1+ 3i)=1，则|z|= ．
6.已知sin(α+β)=13, a=sinα, sinβ, b=csβ, csα，则a⋅b= ．
7.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若b2+c2=a2+bc，且bc=8，则ΔABC的面积等于 ．
8.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为 ．
9.已知i是虚数单位，若z∈C，且|z−2−2i|=3，则|z|的取值范围为 ．
10.如图，在▵ABC中，点D是线段BC上动点，且AD=xAB+yAC，则1x+9y的最小值为 ．
11.已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ．
12.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为150°，测得从D、C两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为DA=20 3m、CB=40m，且AB=20m，则甲乙两人相距_ _m．
13.如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为4，若将其截去三棱锥B1−BD1C1，则剩余几何体的体积为 ．
14.已知f(x)=sinωx+π4(ω>0)，如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有f(m)≤f(x)≤f(m+1)成立，则ω的最小值为 ．
15.关于x的实系数方程x2−4x+5=0和x2+2mx+m=0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是 ．
16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，四分之一圆柱BB1C1−AA1D1与四分之一圆柱AA1B1−DD1C1公共部分是八分之一的“牟合方盖”.已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知向量a=sinx, 3,b=csx,1．
(1)若a//b，求sinx+ 3csx 3sinx−csx的值；
(2)设f(x)=a− 3b2,x∈0,π2，若关于x的不等式f(x)=m2−1有解，求实数m的取值范围．
18.(本小题14分)
如图，四边形ABCD是矩形，AD=2, DC=1，AB⊥平面BCE，BE= 3, EC=1.点F为线段BE的中点．
(1)求证：EC⊥平面ABE；
(2)求异面直线AF与DE所成的角的大小．
19.(本小题14分)
已知i是虚数单位，设f(z)=z, Rez≥0−z, Rez0,y>0，
所以1x+9y=1x+9y(x+y)=10+yx+9xy≥10+2 yx⋅9xy=16，
当且仅当yx=9xy，即x=14,y=34时等号成立，
则1x+9y的最小值为16．
故答案为：16．
11.【答案】18 3
【解析】【分析】根据题意正三棱锥三个侧面全等，利用锥体的高及底边长求得斜高，即可得到侧面积．
【详解】
在正三棱锥P−ABC中，底面ABC边长为6，高PO=3，
且O为▵ABC的中心也是重心，所以OD=13AD=13×3 3= 3，
则PD= 3+9=2 3，所以S▵PBC=12×6×2 3=6 3，
即S侧=3S▵PBC=18 3．
故答案为：18 3．
12.【答案】20 14
【解析】【分析】根据题意可得DC=DA+AB+BC，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案．
【详解】由题意可得DC=DA+AB+BC，
故|DC|2=DA+AB+BC2=DA2+AB2+BC2+2DA⋅AB+2BC⋅DA+2AB⋅BC，
而DA=20 3m、CB=40m，且AB=20m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为150°，
可知〈BC,DA〉=180°−150°=30°，又DA⋅AB=0,AB⋅BC=0，
故|DC|2=20 32+202+402+2×20 3×40× 32=5600，
故|DC|=20 14(m)，
故答案为：20 14
13.【答案】103
【解析】【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可．
【详解】设点B到平面A1B1C1D1的距离为ℎ，四边形A1B1C1D1的面积为S，显然有4=Sℎ，
所以VB1−BD1C1=VB−B1D1C1=13.12S⋅ℎ=46=23，
因此剩余部分几何体的体积为4−23=103．
故答案为：103
14.【答案】π
【解析】【分析】根据题意，f(m)为函数f(x)的最小值，f(m+1)为f(x)的最大值，由正弦函数性质求解．
【详解】由题，可得f(m)为函数f(x)的最小值，f(m+1)为f(x)的最大值，
所以m+1−m=n⋅T2，则T=2n，又T=2πω，
∴2n=2πω，得ω=nπn∈N∗，由ω>0，
所以当n=1时，ω=π为最小值．
故答案为：π．
15.【答案】(0,1)∪{−1}
【解析】【分析】解出方程x2−4x+5=0，可得其对应的点A,B，对于方程x2+2mx+m=0，讨论其Δ，进一步分析计算即可．
【详解】因为x2−4x+5=0的解为
x=4± 4×5−(−4)2i2=2±i，
设所对应的两点分别为A,B，
则A(2,1)，B(2,−1)，
设x2+2mx+m=0的解所对应的两点分别为C，D，
记为Cx1,y1),D(x2,y2)，
当Δ