上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 函数最小正周期为________.
2. 若，则点第__________象限．
3. 已知平面上两点坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为__________.
4. 若，则________．
5. 若为第二象限角，，则______．
6. 已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为______.
7. 在中，是方程的两个根，则______．
8. 已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为__________.
9. 窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________.
10. 已知，其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则取值范围为__________.
11. 设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是__________.
12. 若均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若且，且，则的取值范围为；
（2）若且，且，则的取值范围为；
（3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为；
（4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第题每题4分，第题每题5分
13. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D. 若，都单位向量，则
14. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15. 设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（ ）
A. 1012B. 1013C. 2023D. 2024
16. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（ ）
（1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根.
A. 0B. 1C. 2D. 3
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题
17. 已知，，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若与方向相反，求实数的值.
18. 已知向量．设．
（1）求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式；
（3）求关于的方程在区间上的解集．
19. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．
20. 如图所示，已知，与的夹角为，点是的外接圆优孤上的一个动点（含端点），记与的夹角为，并设，其中为实数．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域；
（3）求为直径时，的值．
21. 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
（1）判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
（2）已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
（3）已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.