四川省凉山州2024-2025学年高二上学期综合测评数学试卷（解析版）

这是一份四川省凉山州2024-2025学年高二上学期综合测评数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：因为，
而，所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．
故选：A．
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，，，
∴.
故选：D．
4. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A. B. 9C. 4D. 8
【答案】B
【解析】圆的圆心为，
依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
5. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】根据题意，，，，
则，，
结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.
故选：D.

6. 已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线与轴的交点为，因为与向量平行，
所以，即，则，所以.
故选：D.
7. 已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】】表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
故选：A.
8. 如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由于，
如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，
连接,由于，则≌,
而，故，则，
则，
设，则，，
故，
当时，有最小值，
故选：A．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止一个选项符合题目要求，请选出你的选项，全部正确得5分，部分正确得2分，含错误选项或未选择得0分）
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 过点，的直线的倾斜角为
B. 若直线与直线垂直，则
C. 直线与直线之间的距离是
D. 过两点的直线方程为
【答案】ACD
【解析】对A，设直线倾斜角为，则，所以倾斜角不是，故错误；
对B，由两条直线垂直，则，故正确；
对C，直线，即，
所以与直线之间的距离是，故错误；
对D，过两点的直线方程为，故错误.
故选：ACD.
10. 已知事件满足，，则下列结论正确是（ ）
A.
B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
【答案】BCD
【解析】对于选项A，，故选项A错误；
对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确；
对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确；
对于选项D，如果与相互独立，那么
，所以选项D正确.
故选：BCD.
11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. 直线平面
C. 直线与平面所成角的正切值为D. 点到平面的距离是
【答案】ABD
【解析】对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；
对于B，取中点，连接，，，
可知且，
又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面，故B正确；
对于C，取的中点，连接，则，因为平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为，
所以，故C错误；
对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，
即，解得，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A. 存在点，使得B. 存在点，使得
C. 的最小值为D. 最大值为3
【答案】BCD
【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，
，与不垂直，同理时与不垂直，
当且时，，
若，则，
去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；
对于B：设，若，
则，
即，由，
所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；
对于C：如图设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.

故选：BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，且，则___________.
【答案】3
【解析】因为，，且，所以，则.
14. 已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______.
【答案】
【解析】设过A、B、C的圆的方程为：（），
则，解得，
所以过A、B、C的圆的方程为：，
又因为点D在此圆上，
所以，解得，
所以点D到坐标原点O的距离为.
15. 直线的倾斜角的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，
即，所以.
16. 三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于_____________．
【答案】
【解析】三棱锥中，平面，，，，
画出几何图形如图所示；

补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；
∵对角线长为，
∴三棱锥的外接球的半径为1，
∴该三棱锥外接球的体积为．
四、解答题（共6题，70分，每个题请写出必要的文字说明、演算或证明过程）
17. （1）求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程.
（2）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程．
解：（1），所以交点坐标为，
设所求直线方程为：，
则，所以所求直线方程为.
（2）由圆心M在直线上，设，
又，所以，
所以，半径为，
所以圆的方程为：.
18. 青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．

（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；
（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．
解：（1）由频率分布直方图可知，即，
又，所以，．
测试成绩的上四分位数即分位数，
前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
则分位数，且．
测试成绩的平均分为：.
（2）成绩在和内人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，
再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，
故这2人成绩都在内的概率为．
19. 已知函数是偶函数.当时，.
（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（2）已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.
解：（1）设，则，则，
因为为偶函数，
所以，
所以，作出的图象如图：

因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
所以实数的取值范围是.
（2）令，即，
由（1）作出的图象如图：

由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.
20. 在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，， ，为的中点

（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的大小．
解：（1）因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为，，，
又因为为的中点，所以到平面的距离为，
则.
（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
因为，所以，
即直线与平面所成的角的大小为

21. 已知向量，，，设函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值．
解：（1），，
，
令，，
解得，，
的单调递增区间是，
（2）由（1）知：，
，，即，
，，，，，
的面积为，，解得，
，
由余弦定理得
，
，
综上所述，结论是：.
22. 已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
（1）已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；
（2）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；
（3）设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得，，；
即，.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，舍去；
当直线的斜率存在时，直线的方程为，
由题意,所以直线可化为，
假设，则，解得或．
所以存在直线的方程为或；
（3）当时，直线，
，
由，
整理得，
，，，即，
当时，直线，
得，
由，
即，
或，
解得或，
由题意对任意的参数都有恒成立，所以，
综上所述，存在实数满足题目条件，即.