广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试卷（解析版）

这是一份广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，
则，
又，得到，
所以，，所以，或，，得到，
所以，
故选：B．
2. 已知平面上的两个非零向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，故，
则，又，故.
故选：B.
3. 函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，在上单调递减，满足题意；
当时，的对称轴为直线，由在上单调递减，
知，解得．
综上，a的取值范围为．
故选：D
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
.
故选:D.
5. 已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（ ）
A. B. 6C. D. 9
【答案】A
【解析】如图四棱锥的底面四边形为正方形，高，
作截面（如下图）点，点分别为，的中点，点为是正方形的中心也是圆柱底面圆的圆心.
依题意可知，
所以，
所以，所以，所以.
故选：A.

6. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】，，，
∵，∴，，所以，
故选：A．
7. 已知，且，则的最大值为（ ）
A. 9B. 12C. 36D. 48
【答案】C
【解析】设Ax1,y1与Bx2,y2为圆上一点，
则，得，，
即为等腰直角三角形，设为的中点，
则，得，即点在以为圆心，2为半径的圆上，
故，
因为点到定点D1,0的距离的最大值为，
因此的最大值为36.故选：C.
8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆D：的圆心，半径为，
圆C：的圆心，半径为，
因为圆与圆相外切，所以，所以，
且圆与轴交于，不妨记，
因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上，
由对称性不妨令，
当时，则，解得，
故
，
当时，则，解得，
此时，故，
当时，则，
解得，
故
，
综上所述，的最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 当时，点的轨迹长度为
C. 平面内存在一条直线与直线成角
D. 将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是
【答案】ABD
【解析】对于A，连接，则,

又平面平面，故,
平面，故平面，
平面，故，同理，
平面，故平面，
平面，故平面平面，A正确；
对于B，取的中点为H，连接，
则平面，平面，故，

由于，故，
即点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动，
结合题意知F轨迹为该圆在平面内的圆弧，如图圆弧，
则，则，
故F轨迹长度为，B正确；
对于C，从正方体中分离出四棱锥，的中点为H，

平面，则，
，
则EF与平面所成角的最小值为，,
即，故平面内不存在一条直线与直线成角，C错误；
对于D，连接交于N，取的中点为M，

连接，则点的轨迹为平面内以N为圆心，为半径的圆，
又正方体性质知，由知，
而平面，故平面，
平面，故平面平面;
又平面平面，故，
结合，平面，
故平面，平面，
故，则，
设与圆的交点分别为，
当点位于处时，到平面的距离分别取到最大值和最小值，
最大值为，
最大值为，
故到平面的距离的取值范围是，D正确
故选：ABD.
10. 如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】BD
【解析】取的中点，连接，
因为为正三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为四边形为正方形，以点为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，
对于A，，由图易知平面的一个法向量为，
因为，故与平面不平行，故A错误；
对于B，因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，故B正确；
对于C，，，
，
所以直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
点到平面的距离，故选项D正确；
故选：BD.
11. 点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3
B. 从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为
C. A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得
D. 当时，的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，当，且AB为圆的直径时，
此时，当AB垂直于x轴时，面积最大，
不妨取，则，A正确；
对于B，设，设交于N，
由圆的切线性质知∽，
则，
故，当最大时，最小，
当位于时，最大，此时，
则，即的最小值为，B正确；
对于C，由B的分析可知当位于时，最大，此时，
即，则，故在直线l上不存在一点P，使得，C错误；
对于D，设D为AB的中点，则，
连接MD，则，则，
故点D在以M为圆心，为半径的圆上，结合，
可得的最大值为,
故的最大值为，D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角_____.
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，
因为，所以.
13. 已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】在棱长为2的正四面体中，
由点M，N为棱BC，AD的中点，得，
由点E，F分别在线段AM，CN上，，
令，则，
所以
，又，
，，
故
，
当时，，
所以线段EF长度的最小值为.
14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】直线恒过点.
由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方.

当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为： ，
根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得，
当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点，
当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，
综上得，实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
解：（1）由题意知，即，
由于，
故，即，结合，
则；
（2），，面积为，
则，则，
故，
故.
16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（1）证明：连接，交于点，
由底面是正方形，可知为的中点，
又是的中点，是的中位线，，
又平面，平面，平面.
（2）解：设，，
底面，底面，，
即是直角三角形，，
又E是的中点，，
同理可得，且，，平面，
平面，，
在直角中，，
，，
又，二面角的平面角为，
.
二面角的平面角的余弦值为.
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
解：（1）由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，
得，
所以.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
则样本成绩的第75百分位数为，由，
得，
所以样本成绩的第75百分位数为84.
18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：如图，取的中点，连接，
因为是边长为的正三角形，所以，
在菱形中，，则为等边三角形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：由（1）得，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则.
设平面的法向量为n=x,y,z，则有，
令，则，所以，
因为，记直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知直线的方程为：.
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.
（1）证明：由，可得，
令，所以直线过定点.
（2）解：由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，
设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；
令，得，
所以面积，
当且仅当，即时，面积最小值为4.