2022-2023学年陕西省安康市高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省安康市高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z(1+i)=2，则z−的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.集合A={x|x2−x−2<0}，B={y|y=x2,x∈A}，则A∩B=( )
A. (1,4)B. [1,4)C. (0,2)D. [0,2)
3.已知f(x)=2lnx+ax2−3x在x=2处取得极小值，则a的值为
( )
A. 2B. 12C. −2D. −12
4.将函数y=sin2x(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A. y=sin(x+π6),x∈RB. y=sin(x+π3),x∈R
C. y=sin(4x+π6),x∈RD. y=sin(4x+π3),x∈R
5.函数y=ln|x|−12x2的图像大致为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CC1，AB⊥BC，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为( )
A. 52
B. 23
C. 2 55
D. 53
8.抛物线y=x2−x与x轴围成的图形的面积为( )
A. 18B. 1C. 16D. 12
9.若某程序框图如图所示，已知该程序运行后输出S的值是511，则判断框的条件可能是( )
A. k≥9
B. k>10
C. k>11
D. k>12
10.已知抛物线y2=20x的焦点与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±34xB. y=±43xC. y=±45xD. y=±54x
11.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色种数是( )
A. 300B. 360C. 420D. 480
12.已知a=ln 2，b=ln33，c=1e，则下列判断正确的是( )
A. c二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设x，y满足约束条件4x+3y−5≥0x≤3y≤3，则z=−x+y的最小值为______．
14.已知向量a与b的夹角为30°,|a|=1,|b|= 3，则|a−2b|= ______．
15.函数f(x)=f′(π3)sinx−csx的最大值为______．
16.如图，正方形纸片ABCD的边长为5cm，在纸片上作正方形EFGH，剪去阴影部分，再分别沿EFGH的四边将剩余部分折起．若A，B，C，D四点恰好能重合于点P，得到正四棱锥P−EFGH，则P−EFGH体积的最大值为______cm3．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+ccsA=btanA．
(1)求A；
(2)若a= 5,b= 2，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知等比数列{an}的公比q>1，前n项和为Sn，且a3=9，S3=13．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=lg3a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
甲、乙、丙、丁四名同学去某社区做志愿者工作，现将他们随机安排到A，B，C三个岗位中，每个岗位至少安排一人．
(1)求共有多少种安排方法；
(2)求甲乙被安排在同一岗位的概率．
20.(本小题12分)
如图，几何体ABCDEF中，ADEF为等腰梯形，ABCD为矩形，AD/​/EF，AB=1，AD=3，DE= 2，EF=1，平面ADEF⊥平面ABCD．
(1)证明：BF⊥CF；
(2)求直线AF与平面CEF所成角的大小．
21.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0)，且离心率e= 63．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点A、B是x轴上的两个动点，M( 3,−1)且|AM|=|BM|，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q(均异于M)，证明：直线PQ的斜率为定值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a(x+1)ex+12x2．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)有两个不同零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2>0．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z(1+i)=2，
∴z=21+i=2(1−i)12−i2=1−i，
∴z−=1+i，
∴z−的虚部为1．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={x|x2−x−2<0}={x|−1B={y|y=x2,x∈A}={y|0≤y<4}，
则A∩B=[0,2)．
故选：D．
求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由已知f′(x)=2x+2ax−3，x>0，
∴f′(2)=1+4a−3=0，得a=12，
此时f′(x)=2x+x−3=x2−3x+2x=(x−1)(x−2)x，x>0，
令f′(x)>0，得02，
令f′(x)<0，得1故f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
故f(x)在x=2处取得极小值，符合题意．
则a的值为12．
故选：B．
先对函数求导，然后通过f′(2)=0求出a的值，再代入原导函数验证在x=2处取得极小值即可．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：将函数y=f(x)=sin2x(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，
所得图象表示的函数是y=f(x+π6)=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)(x∈R)，
再把y=sin(2x+π3)(x∈R)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，
得到的图象所表示的函数是y=sin(4x+π3)(x∈R)．
故选：D．
结合题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换法则可求导答案．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：∵y=ln|x|−12x2是偶函数，
∴图像关于y轴对称，排除选项AB；
又x>0时，f′(x)=1x−x=1−x2x，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
则此时f(x)故选：D．
由函数的奇偶性排除选项AB，求导可知，当x∈(0,1)时，f(x)本题考查根据函数性质确定函数图像，考查数形结思想以及运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；
若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意．
故选：A．
分别假设甲、乙、丙、丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案．
本题主要考查了合情推理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：连接BF，∵E是BC中点，F是B1C1中点，
∴BE//FC1，BE=FC1，∴四边形BEC1F是平行四边形，
∴BF//EC1，BF=EC1，∴∠AFB是异面直线AF与C1E所成角(或所成角的补角)，
∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥BF，∴△ABF是直角三角形，
设AB=BC=CC1=a，则BF= a2+a24= 5a2，
AF= a2+( 52a)2=3a2，
∴sin∠AFB=ABAF=a3a2=23．
故选：B．
连接BF，推导出BF//EC1，BF=EC1，从而∠AFB是异面直线AF与C1E所成角(或所成角的补角)，由此能求出结果．
本题考查异面直线所成角、平行四边形的判断、线面垂直的判定等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由定积分定义知，抛物线y=x2−x与x轴围成的图形的面积为s=01(−x2+x)dx，
因为(−13x3)′=−x2，(12x2)′=x，
所以s=01(−x2+x)dx=−13x3|01−12x2|01=−13+12=16．
故选：C．
抛物线y=x2−x与x轴围成的图形在x轴下方，所以其面积应为(−x2+x)在区间[0,1]上的积分．
本题考查了定积分求法，具体考查的是曲边三角形在x轴下方的面积问题，该类型的面积求法是先把被积函数取负值，再求积分．
9.【答案】B
【解析】解：由题意，
假设先执行若干次循环：S=0，k=1；S=11×3，k=3；S=11×3+13×5，k=5，…，S=11×3+13×5+15×7+17×9，k=9；S=11×3+⋅⋅⋅+19×11=12(1−13+13−15+⋅⋅⋅19−111)=511，k=11；
结束循环，再分析选项，只有B符合题意，
故选：B．
根据程序框图与数列裂项求和，即可得出判断框的条件．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由抛物线y2=20x，可得2p=20，则p=10，故其焦点坐标为(5,0)，
∵抛物线y2=20x的焦点与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点重合，
∴c=5．
∵抛物线y2=20x的准线被双曲线截得的线段长为92，
∴2b2a=92，又c2=25=a2+b2，
∴a=4，b=3，
则双曲线的渐进方程为y=±bax=±34x，
故选：A．
先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线y2=20x的准线被双曲线截得的线段长为92，可得2b2a=92，借助于c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：画出四棱锥P−ABCD如下：
最少需要3种颜色，即A与C相同，B与D相同，P各一种颜色，所以有A53种可能，
当用4种颜色时，在AC，BD中选一组使其颜色相同，所以有C21A54种可能，
当用5种颜色时，有A55种可能，所以共A53+C21A54+A55=420种可能．
故选：C．
根据所需染颜色的个数进行分类讨论，最少需要3种，即AC，BD颜色相同，写出此时染色种数，需要4种时，即AC，BD中选一组使其颜色相同，写出染色种数，需要5种颜色时，写出染色种数，计算出最终结果即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：设f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
当x∈(0,e)时，f′(x)>0，则f(x)为增函数，
当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数．所以f(x)≤f(e)=1e，
a=ln 2=12ln2=24ln2=14ln4=f(4)，又b=ln33=f(3)，c=1e=f(e)，e<3<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，
所以f(4)故选：C．
构造函数f(x)=lnxx(x>0)，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
13.【答案】−163
【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，
由图象可知，平移直线−x+y=0至过点A时，目标函数z=−x+y取得最小值，
联立x=34x+3y−5=0，解得x=3y=−73，即A(3,−73)，
则z=−x+y的最小值为−3−73=−163．
故答案为：−163．
作出可行域，根据图象，找到最优解，进而得到所求最小值．
本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】 7
【解析】解：因为向量a与b的夹角为30°,|a|=1,|b|= 3，
所以a⋅b=|a|⋅|b|cs30°=1× 3× 32=32，
所以|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 12−4×32+4×( 3)2= 1−6+12= 7．
故答案为： 7．
由向量的模长公式和数量积的定义求解即可．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：函数的导数f′(x)=f′(π3)csx+sinx，
令x=π3得f′(π3)=f′(π3)csπ3+sinπ3=12f′(π3)+ 32，
即12f′(π3)= 32，则f′(π3)= 3，
即f(x)=f′(π3)sinx−csx= 3sinx−csx=2( 32sinx−12csx)=2sin(x−π3)，
则f(x)的最大值为2．
故答案为：2．
求函数的导数，令x=π3求出f′(π3)的值，然后利用辅助角公式进行求解即可．
本题主要考查三角函数最值的求解，求函数的导数，求出f′(π3)的值，利用辅助角公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
16.【答案】4 103
【解析】解：设正方形ABCD的中心为点O，则点O也为正方形EFGH的中心，
连接HF，连接AC分别交EH、FG于点M、N，易知M、N分别为EH、FG的中点，
设正方形EFGH的边长为2x，∵O为AC的中点，则AO=12AC=5 22，
∵O、M分别为HF、HE的中点，则OM=12EF=x，则AM=AO−OM=5 22−x，
由题意可得5 22−x>xx>0，可得0如下图所示，在正四棱锥P−EFGH中，PO⊥平面EFGH，OM⊂平面EFGH，∴PO⊥OM，
因为PM=5 22−x，OM=x，则PO= PM2−OM2= 252−5 2x，
∴VP−EFGH=13PO⋅SEFGH=13× 252−5 2x⋅4x2=43 252x4−5 2x5，
令f(x)=252x4−5 2x5，其中0则f′(x)=50x3−25 2x4=25x3(2− 2x)，列表如下：
所以，f(x)max=f( 2)=10，
因此，P−EFGH体积的最大值为4 103cm3．
故答案为：4 103．
设正方形EFGH的边长为2x，分析可得0本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．
17.【答案】解：(1)已知acsC+ccsA=btanA，
由正弦定理可得sinAcsC+csAsinC=sinBtanA，
整理得sin(A+C)=sinB=sinBtanA，
因为sinB>0，所以tanA=1，因为A∈(0,π)，所以A=π4．
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，即5=2+c2−2 2c× 22，
即c2−2c−3=0，解得c=3或c=−1(舍)，
所以△ABC的面积为12×3× 2×sinπ4=32．
【解析】(1)根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；
(2)根据余弦定理可得c=3，再根据面积公式求解即可．
本题考查解三角形，正余弦定理的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵a3=9，S3=13，
∴9q2+9q+9=13，化为4q2−9q−9=0，q>1，
解得q=3，
∴a1=932=1，
∴an=3n−1．
(2)由(1)可得a2n=32n−1，
∴bn=lg3a2n=2n−1，
∴数列{bn}的前n项和Tn=1+3+…+(2n−1)=n(1+2n−1)2=n2．
【解析】(1)由已知可得9q2+9q+9=13，q>1，解得q，a1，利用通项公式可得an．
(2)由(1)可得a2n，代入bn=lg3a2n，可得bn，利用求和公式可得数列{bn}的前n项和．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程思想方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)一个岗位安排了2名志愿者，另外两个岗位各安排了1名志愿者，将4人分成3组，有C42C21C11A22=6种方法，
再将3组人分到3个岗位，有A33=6种方法，
所以共有6×6=36种安排方法．
(2)甲乙被安排在同一岗位的概率P=C31⋅A2236=16．
【解析】(1)先将4人分成3组，再分配到3个岗位，利用排列组合公式计算即可；
(2)利用捆绑法求得甲乙安排在同一岗位的排法，再利用古典概型公式求解即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
20.【答案】证明：(1)如图，过点F作AD的垂线，垂足为M，连接MB，MC．
由已知可得AM=MF=1,MD=2,BM= 2,CM= 5，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，FM⊂平面ADEF，FM⊥AD，
∴FM⊥平面ABCD，
∵MB，MC⊂平面ABCD，
∴FM⊥MB，FM⊥MC．
∴BF= 3,CF= 6，
∴BF2+CF2=BC2，即△BFC是直角三角形，
∴BF⊥CF．
(2)建立空间直角坐标系A−xyz如图，
则C(1,3,0)，E(0,2,1)，F(0,1,1)．
∴AF=(0,1,1),CE=(−1,−1,1),EF=(0,−1,0)．
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅EF=0，n⋅CE=0，
即−y=0−x−y+z=0，得y=0x=z，令x=1得z=1，y=0，即n=(1,0,1)．
设直线AF与平面CEF所成角为θ，则sinθ=|cs〈AF,n〉|=|AF⋅n||AF|n|=1 2× 2=12．
∵θ∈[0,π2]，∴θ=π6，
即直线AF与平面CEF所成角的大小为π6．
【解析】(1)根据空间直线垂直的等价条件进行证明即可．
(2)建立坐标系，求出平面CEF的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查空间直线垂直的位置关系以及线面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：(1)由已知c=2，
又离心率e=ca= 63得a= 6，b= a2−c2= 2，
所以椭圆方程为x26+y22=1．
(2)证明：由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，
设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x26+y22=1y=kx+m得，(3k2+1)x2+6kmx+3m2−6=0，满足Δ>0时，
有x1+x2=−6km3k2+1，x1x2=3m2−63k2+1，
由|AM|=|BM|可得kMP+kMQ=0，
即y1+1x1− 3+y2+1x2− 3=0，即kx1+m+1x1− 3+kx2+m+1x2− 3=0，
化简得2kx1x2+(m+1− 3k)(x1+x2)−2 3(m+1)=0，
代入韦达定理，可得3 3k2+3k(m+2)+ 3(m+1)=0，
又点M( 3,−1)不在直线PQ上，因此 3k+m+1≠0，所以3k+ 3=0，即k=− 33，
故直线PQ的斜率为定值− 33．
【解析】(1)根据已知条件求得a、b的值即可．
(2)设出直线PQ方程，与椭圆方程联立得x1+x2，x1x2，代入kMP+kMQ=0化简即可求得结果．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=a(x+1)ex+12x2，函数定义域为R，
当a=1时，f(x)=x+1ex+12x²，f(−1)=12，
可得f′(x)=x−xex，
所以f′(−1)=e−1，
则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为y−12=(e−1)(x+1)，
即y=(e−1)x+e−12；
(2)证明：若函数f(x)有两个不同零点x1，x2，
显然a≠0,f′(x)=x(ex−a)ex，
当a>0时，令f′(x)=0，
解得x=0或x=lna，
若a=1，
此时f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，
所以f(x)最多只有一个零点，不符合题意；
若0当x0，f(x)单调递增；
当lna当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)极小值=f(0)=a>0，
所以f(x)最多只有一个零点，不符合题意；
若a>1，
当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0当x>lna时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)极小=f(lna)=12(lna)2+lna+1>0，
所以f(x)最多只有一个零点，不符合题意；
若a<0，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(0)=a<0．
当x>0时，a(x+1)ex>a(x+1)，
所以f(x)>a(x+1)+12x2，
因为当x= a2−2a−a>0时，a(x+1)+12x2=0，
所以f( a2−2a−a)>0，
又f(−1)=12>0，
所以f(x)在(−1,0)和(0, a2−2a−a)分别有1个零点，
故当a<0时，f(x)始终有两个零点x1，x2，
不妨设x1<0，x2>0，F(x)=f(x)−f(−x)，函数定义域为R，
可得F′(x)=f′(x)+f′(−x)=x(ex−aex)−x(e−x−ae−x)=ax(ex−e−x)，
当x>0时，ex−e−x>0，
由a<0，可得F′(x)=ax(ex−e−x)<0恒成立，
所以F(x)在(0,+∞)上是减函数，
此时当x>0时，F(x)即f(x)所以f(x2)因为F(x)为奇函数，
所以F(x)在R上是减函数，
又x1，x2是f(x)的两个零点，
所以f(x1)=f(x2)，
则f(x1)此时x1>−x2，
故x1+x2>0．
【解析】(1)由题意，将a=1代入f(x)的解析式中，得到f(−1)，对f(x)进行求导，得到f′(x)，代入切线方程中即可求解；
(2)函数f(x)有两个不同零点x1，x2，显然a≠0，对a>0和a<0讨论，求出原函数的导函数，利用导数得到原函数的单调性和最值，结合函数零点的判定定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．x
(0, 2)
x= 2
( 2,5 24)
f’(x)
+
0
−
f(x)
增
极大值
减