中考数学第一轮专项复习专题第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（讲义）（解析版）

这是一份中考数学第一轮专项复习专题第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（讲义）（解析版），共68页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158194251" \l "_Tc157927020" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158196849" 考点一 尺规作图
\l "_Tc158196850" 题型01 尺规作图-作线段
\l "_Tc158196851" 题型02 尺规作图-作角度
\l "_Tc158196852" 类型一 作一个角等于已知角
\l "_Tc158196853" 类型二 尺规作角的和、差
\l "_Tc158196854" 类型三 过直线外一点作这条线的平行
\l "_Tc158196855" 类型四 作角平分线
\l "_Tc158196856" 题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
\l "_Tc158196857" 题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
\l "_Tc158196858" 题型05 尺规作图-作垂直平分线
\l "_Tc158196859" 题型06 尺规作图- 画圆
\l "_Tc158196860" 题型07 尺规作图- 找圆心
\l "_Tc158196861" 题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
\l "_Tc158196862" 题型09 尺规作图-作外接圆
\l "_Tc158196863" 题型10 尺规作图-作内切圆
\l "_Tc158196864" 题型11 尺规作图-作圆内接正多边形
\l "_Tc158196865" 题型12 尺规作图-格点作图
\l "_Tc158196866" 考点二 定义、命题、定理
\l "_Tc158196867" 题型01 判断是否命题
\l "_Tc158196868" 题型02 判断命题真假
\l "_Tc158196869" 题型03 举反例说明命题为假命题
\l "_Tc158196870" 题型04 写出命题的逆命题
\l "_Tc158196871" 题型05 反证法证明中的假设
\l "_Tc158196872" 题型06 用反证法证明命题
考点一 尺规作图
尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
五种基本作图：
根据基本作图作三角形
根据基本作图作圆
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3) 切记作图中一定要保留作图痕迹．
题型01 尺规作图-作线段
【例1】（2021上·辽宁抚顺·九年级校联考周测）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图．
(1)画直线AB；
(2)作射线BC；
(3)画线段AD；
(4)连接CD，并延长CD至点E，使DE＝CD；（保留作图痕迹）
(5)在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析
【分析】（ 1）根据直线的概念作图即可；
（2 ）根据射线的概念作图即可；
（3 ）根据线段的概念作图即可；
（4 ）以点D为圆心、DC为半径，画弧交CD延长线于点E；
（5 ）根据两点之间线段最短，连接AC、BD，交点即为所求点O．
【详解】（1）如图所示，直线AB即为所求；
（2）如图所示，射线BC即为所求；
（3）如图所示，线段AD即为所取；
（4）如图所示，线段DE即为所求；
（5）如图所示，点O即为所求．
【点睛】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图．熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确的根据定义作图是解题的关键．
【变式1-1】（2023上·广西河池·九年级统考期末）如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
(1)作直线AC，射线BC，连接AB；
(2)延长AB到点D，使得BD=AB；
(3)直接写出∠ABC+∠CBD=______°．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)180°
【分析】（1）按照题意用直尺作出图形；
（2）按照题意作出图形即可；
（3）由题意可知，∠ABC+∠CBD=180°．
【详解】（1）解：如图所示，直线AC，射线BC，线段AB即为所求；
（2）解：如图所示线段 BD即为所求；
（3）解：∠ABC+∠CBD=180°，理由是：
∵延长AB到点D，使得BD=AB
∴∠ABD是平角
∴∠ABC+∠CBD=180°
【点睛】本题考查了直线、线段、射线的作图，解决本题的关键是准确作图．
【变式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c-b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)4.5
【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a,EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB即为所求；
（2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长．
【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求：

（2）如图，

∵ a=6，b=4，c=7，
∴AB=a+c-b=6+7-4=9
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=12AB=12×9=4.5
即AC的长4.5．
【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式1-3】（2022上·广西梧州·七年级统考期末）（1）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作图，分别作下列两条线段．
①AB=a+b；
②CD=2a-b．
（2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）155°
【分析】（1）①先作线段 AC=a，再以点C为一端点，往AC延长线方向作线段CB=b即可；
②先作线段 CE=2a，再以点E为一端点，往EC延长线方向作线段ED=b即可；
（2）先根据已知条件求出∠AOD的度数，再由∠AOC=∠COD+∠AOD计算即可．
【详解】（1）解：
①AB=a+b；
②CD=2a-b
（2）解：∵∠AOB=90°，∠BOD=25°
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-25°=65°
∵∠COD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+65°=155°．
【点睛】本题考查了作图-线段的和差及计算角的和差，熟练掌握作图技巧及知识点是解题的关键．
题型02 尺规作图-作角度
类型一 作一个角等于已知角
【例2】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】过点D作AB的垂线，利用同角的余角相等证明即可．
【详解】根据题意，A作图是构造等腰三角形，
不符合题意；
B是作的角的平分线，
故不符合题意；
C是过点D作AB的垂线，
∴∠A=90°-∠B，∠BCD=90°-∠B，
∴∠BCD=∠A，
故C符合题意；
D作的是线段AC的垂直平分线，
故不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了垂线的基本作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023·山东青岛·校考一模）如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
(1)尺规作图：以E为顶点，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F．
（2）根据∠DFE＝150°，可得到∠EFB的度数，再根据平行线的判定及性质，角平分线的定义即可得到∠BEF的度数．
【详解】（1）解：如图，∠AEF即为所求；
（2）∵∠DFE＝150°，
∴∠EFB＝180°－150°＝30°，
∵∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC．
∴∠FBC＝∠EFB＝30°，∠EBC+∠BEF＝180°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝2∠FBC＝60°，
∴∠BEF＝180°－60°＝120°．
【点睛】本题考查了基本作图，角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握作一个角等于已知角，熟练运用平行线的判定和性质是解决本题的关键．
【变式2-2】（2021下·上海闵行·上海上师初级中学校考期中）如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）

【答案】见解析
【分析】分两种情况：OC在∠AOB内和OC在∠AOB外进行作图解题即可．
【详解】解：如图，当OC在∠AOB内时，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-53°=17°，

如图，当OC在∠AOB外时，
∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+53°=123°，

综上所述，∠BOC=17°或∠BOC=123°．
【点睛】本题考查限定工具作图—尺规作一个角等于已知角，角的和差，掌握分类讨论是解题的关键．
类型二 尺规作角的和、差
【例3】（2023上·内蒙古呼和浩特·校考阶段练习）如图，已知∠ABC．
(1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）

(2)若∠ABC的补角是∠ABC的5倍，则∠ABC= ．
【答案】(1)详见解析
(2)30°
【分析】（1）作一个角等于已知角，反向延长所作角的一边，得其邻补角即为所求．
（2）根据补角的定义知互为补角的两个角和为180°，构建方程求解．
【详解】（1）解：作∠MDF=∠ABC，反向延长射线DM，得射线DG，∠GDF即为所求；

（2）解：由题意，得∠ABC+5∠ABC=180°，
解得：∠ABC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作一个角等于已知角，补角的定义，解题的关键是掌握尺规作图的方法和步骤，以及相加等于180°的两个角互补．
【变式3-1】（2023上·陕西榆林·校考阶段练习）已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB=∠β-∠α．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】根据尺规作图的方法先作∠AOC=∠β，再以OC为角的一边作∠BOC=∠α，则∠AOB即为所求．
【详解】解：如图，∠AOB即为所求．

【点睛】本题考查了尺规作图，角的计算，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
【变式3-2】（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作一点D，使得∠ADE=12∠C．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D即为所求．
【详解】解：如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D即为所求；
∵∠CAD=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AC于点E，
∴∠CBE=12∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠ADE=12∠C．

【点睛】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
类型三 过直线外一点作这条线的平行
【例4】（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，在△ABC中，P为AC边上任意一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AP、AB于点M，N；②以点P为圆心，以AM长为半径作弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作射线PF交BC于点Q．若∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=（ ）

A．100°B．80°C．60°D．40°
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理得到∠B=80°，再根据作图方法可知∠CPQ=∠A，则PQ∥AB，由此即可得到∠PQC=∠B=80°．
【详解】解：∵∠A=60°，∠C=40°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=80°，
由作图方法可知∠CPQ=∠A，
∴PQ∥AB，
∴∠PQC=∠B=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，证明PQ∥AB是解题的关键．
【变式4-1】（2023下·河南焦作·统考期中）如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB 的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求．
小亮作图的依据是（ ）

A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上结论都不正确
【答案】B
【分析】由作法可知：∠O=∠OAE，结合平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：由作法可知：∠O=∠OAE，
根据内错角相等，两直线平行，可得AE∥OB
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到∠O=∠OAE是关键．
【变式4-2】（2024上·陕西商洛·统考期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作射线CE，使得CE∥AB，且点E在BD上方．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角的基本作图，利用同位角相等，两直线平行，画一个角等于∠B，且是一对同位角即可．
【详解】根据题意，画图如下：
则CE即为所求．
【变式4-3】（2023上·吉林长春·统考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点，在给定的网格中，按下列要求作图

(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C．
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图，中位线的性质，平行线的性质；
（1）利用网格特征作出BC的中点E，连接DE即可；
（2）利用网格特征作出线段AC的中点F，连接DF即可；
（3）利用网格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G，即可．
解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，点E即为所求；

（2）如图2中，点F即为所求；

（3）如图3中，利用网格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G，
由三角形的内角和可知：∠AGD=∠B，
故点G即为所求．

类型四 作角平分线
【例5】（2024上·内蒙古包头·统考期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于点D和E；②分别以点D,E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则∠HGB=（ ）

A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键．也考查了平行线的性质以及三角形内角和．由题意可知BG是∠ABC的平分线，得到∠ABG=∠CBG，根据平行线的性质得到∠HGB=∠CBG，等量代换得到∠HGB=∠ABG，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：由题意可知BG是∠ABC的平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∵HG∥BC，
∴∠HGB=∠CBG，
∴∠HGB=∠ABG，
∵∠BHG=110°，
∴∠AGB=∠HBG=12×(180°-110°)=35°，
故选：C．
【变式5-1】（2023上·广东广州·广州市第七十五中学校考期中）如图，已知△ABC．

(1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小．
【答案】(1)见解析
(2)∠CDA=100°
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）利用三角形内角和及角平分线定义∠ACD=∠BCD=30°，由三角形内角和定理求出∠CDA大小即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：∵∠A=50°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=30°，
∴∠CDA=180°-∠ACD-∠A=180°-30°-50°=100°．
【点睛】此题考查了基本作图—角平分线，利用角平分线的定义求角度，三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【变式5-2】（2023上·河南驻马店·统考阶段练习）如图，已知△ABC， 过点A 的直线l∥BC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：△ABD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义，得出∠ABD=∠ADB，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，BE即为∠B的平分线；
（2）解：∵l∥BC，
∴∠ADB=∠DBC
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了作图——角平分线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形判定条件是解题关键．
题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
【例6】（2024上·山西吕梁·统考期末）如图，已知△ABC．
实践操作：
（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺规作图，点D在直线AB的下方，保留作图痕迹，不写作法）．
推理与探究：
（2）点E是BC上一点，AE∥BD．探究：线段CE+AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）CE+AE=DB，见解析
【分析】本题考查了作三角形以及全等三角形的性质、平行线的性质：
（1）以点A为圆心，AC为半径在AB下方画弧，同时以点B为圆心，BC为半径，在AB下方画弧，两弧相交一点，即为点D，因为AC=AD，AB=AB，BC=BD，所以△ABD≌△ABC，即可作答．
（2）先由全等三角形的性质，得∠CBA=∠DBA，CB=DB，结合平行线的性质，得∠CBA=∠EAB，以及等角对等边，即可作答．
【详解】解：（1）如图△ABD即为所求；
（2）CE+AE=DB．理由：
∵ △ABD≌△ABC
∴ ∠CBA=∠DBA，CB=DB
∵ AE∥BD
∴ ∠EAB=∠ABD
∴ ∠CBA=∠EAB
∴ EA=EB
∵ CB=CE+EB
∴ DB=CE+AE．
【变式6-1】（2023上·湖北襄阳·统考期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
【答案】（1）B；（2）见解析
【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解．
（2）本题考查将军饮马模型，作M关于直线a的对称点M'，连接NM'与直线a交于点O,根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到OM+ON+MN最短．
【详解】（1）解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，
∴△ACD≌△BEFSSS，
故选：B．
（2）解：点O的位置如图所示：
【变式6-2】（2024上·湖北襄阳·统考期末）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．
(1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及角平分线的作图是解答本题的关键．
（1）根据定义可知，黄金三角形需满足两个条件：①等腰三角形，②顶角为36°．因此满足条件的黄金三角形不唯一，例如以∠C=72°为一个角构造黄金三角形，只需作∠B的平分线交AC于点D，则△BDC是黄金三角形；
（2）由AB=AC及三角形内角和定理可知∠ABC=∠C=72°，由角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=36°，则∠BDC=72°，所以∠BDC=∠C，故△BDC是黄金三角形．
【详解】（1）如图，△BDC就是所求作的黄金三角形；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180°-∠A2=72°，
由作图可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
所以△BDC是黄金三角形．
【变式6-3】（2024上·江西南昌·校联考期末）如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．
(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）；
(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为52（画出一个即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定：
（1）取格点C，连接AC、BC，则△ABC即为所求；
（2）取格点D，连接AD、BD，则△ABD即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，△ABD即为所求。
【变式6-4】（2023上·江苏南京·校联考期末）如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一个含30°角的直角三角形ABC，使其斜边为AB（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】方法一，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，再以点D为圆心，DB长为半径作弧，以点A为圆心，AD长为半径作弧与前弧相交于点C，△ABC即为所作；
方法二，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，再作射线AC,在射线AC上截取AC=12AB，过点C作AC的垂线CB，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交CB于点B，△ABC即为所作．
【详解】解：方法一：含30°角的直角三角形ABC如图所示：
方法二：含30°角的直角三角形ABC如图所示：
【点睛】本题考查的是作图-复杂作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式6-5】（2022下·福建漳州·统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段AC为所求作的线段；
（2）已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．
求证：BC=12AC．
解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=CB，连接DB．
∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵CD=CB，∴△BCD是等边三角形．
∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．
∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．
∵BC=CD=DB，∴BC=12AC．
解法二：如图，延长CB至点D，使CB=BD，连接AD．
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，
∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABDSAS．∴AC=AD．
∴△ACD是等边三角形．
∴AC=CD．
∵BC=12CD，∴BC=12AC．
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键．
【变式6-6】．（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【答案】(1)作图及理由见解析；
(2)作图及理由见解析．
【分析】（1）首先作线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接AB、CA即可．
（2）首先作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，再直线DE上取线段FC=h，然后AB=AC=a，连接AB、CB即可．
【详解】（1）解：
作法：1. 作线段BC=a，（如图1）
2.作线段BC的垂直平分线MN，最足为O，
3.在直线MN上取线段OA=h，
4.连接AB、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵线段BC的垂直平分线是MN，OA=h，
∴ AB=AC，△ABC的高为h，
∴△ABC为等腰三角形，
∵ BC=a，
∴△ABC是底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形；
（2）解：
作法：1. 作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，（如图2）
2. 在直线DE上取线段FC=h，
3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A，
4. 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B，
5.连接BC、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵ AB=AC=a，
∴△ABC为等腰三角形，
∵直线GH垂直于直线DE，垂足为F，FC=h，
∴△ABC是腰长为a，腰上的高为h的等腰三角形；
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质．
题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
【例7】（2023下·江苏泰州·泰州市海军中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）

(1)分别画出△ABC的中线BG、高CH；
(2)画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF；
(3)画一个直角三角形MNP(要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图即可；
（2）根据平移变换的定义和性质作图即可；
（3）由△ABC的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图即可得解；
【详解】（1）如图所示，中线BG、高CH即为所求；

（2）如图所示，△DEF即为所求；

（3）如图所示，直角三角形MNP即为所求；

【点睛】本题主要考查作图-基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高，中线的定义和平移变换的定义与性质．
【变式7-1】（2023·吉林·一模）如图，图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
(1)在图①中，作△ABC的BC边上的高；
(2)在图②中，过点B作直线l，使得直线l平分△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在CB的延长线上，找到格点D，使得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，连接AD，即可求解．
（2）根据网格的特点找到AC的中点，过AC的中点与点B作直线l，即可求解．
【详解】（1）解：线段AD即为所求；
∵AB=22+44=20,AD=32+33=18,BD=12+12 =2
∴AB2=AD2+BD2
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴AD即为所求；
（2）直线l即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，作三角形的高，中线，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得S△ABC=4S△ADP.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，与三角形中线有关的面积的计算，分别以点A、C为圆心，大于12AC的长度为半径画弧，交于M、N，作直线MN角AC于点P，点P即为所求，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，点P即为所求，
，
∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴S△ABC=2S△ACD，
由作图可得：MN垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴S△ACD=2S△APD，
∴S△ABC=4S△APD．
【变式7-3】（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)网格中∠B的度数是 ___________°；
(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
(4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为13．
【答案】(1)45
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）直接根据网格的性质求解即可；
（2）找到BC的中点D，连接AD即可；
（3）根据网格的性质画出AC的垂线，与AC交于点E即可；
（4）在BC上找到点M，使得BMBC=13，再过点M画AC的平行线，与AB交于点N，即可得解．
【详解】（1）解：由图可知：
∠B的度数是45°
（2）在图①中，中线AD即为所求；
（3）在图②中，点E即为所求；
（4）在图③中，△BMN即为所求．
【点睛】本题考查了作图-位似变换，解决本题的关键是掌握位似变换．
题型05 尺规作图-作垂直平分线
【例8】（2023下·河北石家庄·校考开学考试）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）

A．FH>HGB．FH=HGC．EF>FHD．EF=FH
【答案】A
【分析】由作图可得：PC是∠APB的角平分线，DE是线段PQ的垂直平分线，过H作HK⊥AP于K，证明HG=HK，结合HK