中考数学第一轮复习讲义第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（练习）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习讲义第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（练习）（解析版），共94页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc158208370" 题型01 尺规作图-作线段
\l "_Tc158208371" 题型02 尺规作图-作一个角等于已知角
\l "_Tc158208372" 题型03 尺规作图-尺规作角的和、差
\l "_Tc158208373" 题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
\l "_Tc158208374" 题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
\l "_Tc158208375" 题型06 尺规作图-作角平分线
\l "_Tc158208376" 题型07 尺规作图-作垂直平分线
\l "_Tc158208377" 题型08 尺规作图-作三角形的中线与高
\l "_Tc158208378" 题型09 尺规作图- 画圆
\l "_Tc158208379" 题型10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
\l "_Tc158208380" 题型11 尺规作图-找圆心
\l "_Tc158208381" 题型12 尺规作图-作外接圆
\l "_Tc158208382" 题型13 尺规作图-作内切圆
\l "_Tc158208383" 题型14 尺规作图-作圆内接正多边形
\l "_Tc158208384" 题型15 尺规作图-格点作图
\l "_Tc158208385" 题型16 判断是否命题
\l "_Tc158208386" 题型17 判断命题真假
\l "_Tc158208387" 题型18 举反例说明命题为假命题
\l "_Tc158208388" 题型19 写出命题的逆命题
\l "_Tc158208389" 题型20 反证法证明中的假设
\l "_Tc158208390" 题型21 用反证法证明命题
题型01 尺规作图-作线段
1．（2023·山东青岛·模拟预测）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．
【答案】见解析
【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．
【详解】解：如图所示：△ABC为所求．
注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取AB=m；
（4）作BC=n．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）已知：∠α，线段a．
求作：矩形ABCD，使对角线的长为a，夹角为∠α．
【答案】见解析
【分析】根据矩形的性质及线段、角及线段中点的作图方法作图即可．
【详解】作法：
①作直线MN与PQ交于点O，使∠QON=∠α
②分别以线段a的两端G、H为圆心，以大于12a长度为半径画弧，两弧交于点E、F，连接EF，交线段a于点KG=12a
③以点O为圆心，以12a 长为半径画弧，分别交OM、OP、ON、OQ与点A、B、C、D
④连接A、B、C、D
则四边形ABCD即为所求作的矩形．
【点睛】本题考查了线段的作图、角的尺规作图以及矩形的性质，熟练掌握作图的步骤以及矩形的性质是解题的关键．
3．（2022·山东青岛·统考二模）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
【答案】作图见详解
【分析】以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AR、AK于点B、C，再以BC为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，交于点D，连接AD并延长，即为∠RAK的平分线；以点A为圆心，a的长度为半径作弧，交AD于点O，点O即为所求圆的圆心；以点O为圆心，任意长为半径作弧，交AR于点E、F，再分别以E、F为圆心，以大于12EF的长度为半径作弧，交与点G，连接OG并延长，交AR于点H，最后以O为圆心，OH长为半径作圆即为所要求的⊙O．
【详解】解：作图如下：
【点睛】本题主要考查了尺规作图-复杂作图，涉及的知识点包括利用尺规作图作角平分线、作垂线、作线段等于已知线段等，解题关键是熟练掌握尺规作图基本方法．
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°．
求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．
作法：如图2，
①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b；
②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；
③连接BC，DC．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=DC=a，AD= =b，
∴四边形ABCD是平行四边形( )(填推理的依据)．
∵∠MAN=90°，
∴四边形ABCD是矩形( )(填推理的依据)．
【答案】(1)见解析
(2)BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求；
（2）证明：∵AB=DC=a，AD=BC=b，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∵∠MAN=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：BC，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．
题型02 尺规作图-作一个角等于已知角
5．（2019·河北·模拟预测）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．
【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．
6．（2022·山东菏泽·校联考模拟预测）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．
【答案】见解析
【分析】先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点．
【详解】解：如图，Rt△ABC为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【详解】解： 作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
题型03 尺规作图-尺规作角的和、差
8．（2022下·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知∠α、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α-∠β．
【答案】见解析
【分析】如图，作∠AOC=α，在∠AOC的内部作∠BOC=β，∠AOB即为所求．
【详解】解：如图，∠AOB即为所求．
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
9．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】根据做一个角等于已知角的方法∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，再利用尺规作∠AOB=∠α+∠β即可解答．
【详解】解：如图所示∠AOB=∠α+∠β，


【点睛】本题考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是解题的关键．
10．（2020下·六年级校考单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
【答案】见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．
【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
11．（2023下·广东佛山·七年级佛山六中校考阶段练习）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可；
（2）以点B为圆心，已任意长为半径画弧，交AB于点F，交BC于点G，再以点G为圆心，以FG长为半径，在BC的下方画弧，与之前的弧交于点H，再以点H为圆心，以FG长为半径，在点H下方画弧，与第一个弧交于点K，连接BK，并延长至点D，即可得出∠CBD=2∠ABC．
【详解】（1）解：如图，线段AE即为所求，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
（2）解：如图，∠CBD即为所求，
【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断．
【详解】解：若要过点C作AB的平行线，
则应过点C作一个角等于已知角，
由作图可知，选项A符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
13．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据AB=a，点B在射线AK上，过点A作AB=a；根据等边三角形性质，得AB=BC=AC，分别过点A、B，a为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案；
（2）设直线BC与AD相交于点S、直线PQ与AD相交于点S'，根据平行线和相似三角形的性质，得ADS'D=ADSD，从而得S'D=SD，即可完成证明．
【详解】（1）作图如下：
四边形ABCD是所求作的四边形；
（2）设直线BC与AD相交于点S，
∵DC//AB，
∴△SBA∽△SCD，
∴SASD=ABDC
设直线PQ与AD相交于点S'，
同理S'AS'D=PAQD．
∵P，Q分别为AB,CD的中点，
∴PA=12AB，QD=12DC
∴PAQD=ABDC
∴S'AS'D=SASD，
∴S'D+ADS'D=SD+ADSD，
∴ADS'D=ADSD，
∴S'D=SD，
∴点S与S'重合，即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．
14．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l．
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
根据尺规作图，完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC=AP，
∴BC=________，
∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据），
∴直线PC∥直线l（________________________）（填推理依据）．
【答案】AP，等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行
【分析】连接BP，由圆中等弦对等弧，根据圆周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行即可得到结论．
【详解】证明：连接BP，如图所示：
∵BC=AP，
∴BC=AP，
∴∠ABP=∠BPC（等弧所对的圆周角相等），
∴直线PC∥直线l（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查尺规作图与几何证明综合，涉及到尺规作图、圆的性质、圆周角定理和平行线的判定，熟练掌握尺规作图及内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．
15．（2022·北京大兴·统考二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA=QB,AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．
∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．
即PQ∥l
【答案】(1)见解析
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．
【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可；
（2）利用平行四边形的性质与判定证明即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线PQ就是所求作的直线．
（2）证明：∵ PA=QB，AB=PQ
∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴ PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行）．
即PQ//l．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
16．（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，∠ACB=∠CBD，
根据角平分线的作法可知，∠ABC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
17．（2021·安徽·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根据作图痕迹，可知∠CBD=（ ）
A．80°B．60°C．45°D．50°
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠A)=12(180°-50°)=65°．
由作图痕迹可知BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=65°．
∴∠CBD=180°-∠BDC-∠BCD=180°-65°-65°=50°．
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键．
18．（2020·山东东营·统考模拟预测）如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角
【答案】C
【分析】观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的条件.
【详解】解：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,
故已知条件为：两角及夹边，
故选C.
【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.
19．（2019·甘肃兰州·统考一模）已知： ∠α，直线l及l上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线l的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
【答案】见解析
【分析】先作∠DAB=α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．
【详解】解：如图，△ABC为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．（2021·吉林·统考一模）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【分析】（1）由题可知，点B满足BA=BC,∠ABC=90°这两个条件，BA=BC说明点B在AC的垂直平分线上，∠ABC=90°说明点B在以AC为直径的圆上，故可作AC的垂直平分线及以AC为直径的圆，其交点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以C为圆心，AC为半径作圆，交于一格点D，经计算△ACD的面积为8，故点D即为所求.
【详解】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【点睛】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键.
题型06 尺规作图-作角平分线
21．（2021·山东青岛·统考一模）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a．
【答案】见解析
【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交∠MAN的两边于B，C．
【详解】作法：(1)作∠MAN=∠α，
(2)作∠MAN的平分线AP，并在射线AP上截取AD=a，
(3)过点D作直线BC⊥AD分别交∠MAN的两边于B，C，
则△ABC为所求的三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图．
22．（2023·吉林长春·校联考一模）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
【详解】A、如图，
由作图可知：OA=OC,AB=BC，
又∵OB=OB，
∴△OAB≅△OCB，
∴∠AOB=∠COB，
∴OB平分∠AOC．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：OA=OB,OC=OD，
又∵∠COB=∠AOD，
∴△OBC≅△OAD，
∴OA=OB，∠OAD=∠OBC，∠OCB=∠ODA，
∴AC=BD，
∵∠CEA=∠BED,∠ECA=∠EDB，
∴△AEC≅△BED，
∴AE=BE，
∵∠EAO=∠EBO,OA=OB，
∴△OAE≅△OBE，
∴∠AOE=∠BOE，
∴OE平分∠AOB．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：∠AOB=∠MCN,OC=CD，
∴CD∥OB,∠COD=∠CDO，
∴∠DOB=∠CDO，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD平分∠AOB．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：OA=BC,OC=AB，
又∵OB=OB，
∴△AOB≅△CBO，
∴∠AOB=∠OBC,∠COB=∠ABO,
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
23．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A．BD=BCB．AD=BDC．∠ADB=108°D．CD=12AD
【答案】D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=12（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=12AD，故选项D不成立；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24．（2023·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=EC，
∵AB=BC，
∴AB=EC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCE为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．
题型07 尺规作图-作垂直平分线
26．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1，则CD＝ ．
【答案】6
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明AE=BE,AD=BD, 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．
【详解】解：∵ CE=13AE=1，
∴AE=3,AC=4,
如图，连结BE,
由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=3,AD=BD,
∵∠ACB=90°,
∴BC=32-12=22,
∴AB=42+(22)2=26,
∴CD=12AB=6.
故答案为：6
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
27．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为 ．
【答案】50°/50度
【分析】根据作图可知DA=DB，∠DAB=∠B=20°，根据直角三角形两个锐角互余，可得∠CAB=70°，根据∠CAD=∠CAB-∠DAB即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，
∴∠CAB=70°，
由作图可知MN是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴ ∠DAB=∠B=20°，
∴ ∠CAD=∠CAB-∠DAB =70°-20°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出MN是AB的垂直平分线，是解题的关键．
28．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．
(2)求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】(1)垂直平分线
(2)见详解
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；
（2）由题意易得∠AOF=∠AOE=90°,∠FAO=∠EAO,AF=DF，然后可证△AOF≌△AOE，则有OF=OE，进而问题可求证．
【详解】（1）解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴∠AOF=∠AOE=90°,AO=DO,AF=DF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAO=∠EAO，
∵AO=AO，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴OF=OE，
∵AO=DO，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．
题型08 尺规作图-作三角形的中线与高
29．（2021·江西·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作△ABC的高AM；
（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）格点△ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；
（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF⊥AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE⊥AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．
【详解】（1）如图1，∵格点△ABC中AB=AC且垂直，
∴以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM⊥BC
（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线
∴过点C且是4×1格的对角线即为如图所示的CF，
∴CF⊥AB
同理AC是4×3格的对角线，
∴过点B且是3×4格的对角线即为如图所示的BE
∴BE⊥AC
∵三角形的三条高所在的直线交于一点
∴连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．
【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键．
30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐标系中，画出点A0,2，点B4,0，点C与点A关于x轴对称．
（1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE．
（2）求出△ABE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）标出点A0,2，点B4,0，依据轴对称的性质，即可得到点C，依次连结，再利用中点坐标公式得出E点坐标，画出AE即可；
（2）根据三角形面积计算公式，即可得到△ABE的面积S的值．
【详解】解：∵点C与点A关于x轴对称且A0,2，
∴C0,-2
如下图所示，依次在图中画出点A、点B与点C并连接即可，
又∵ AE是BC边上的中线，
∴E2,-1
如图所示，连接AE即可；
（2）S△ABE=12S△ABC=12×12×4×4=4
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系基础，解题的关键是学会利用轴对称性质求坐标及面积．
31．（2022·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】根据CD=2BD，可得S△ADC=2S△ABD，，在边AC上找一点P，使△PAD的面积等于△BAD的面积，即找到AC的中点即可，即作AC的垂直平分线交AC于点P，点P即为所求．
【详解】如图，点P即为所求，
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，作垂直平分线，掌握垂直平分线的作法是解题的关键．
题型09 尺规作图- 画圆
32．（2022·福建·一模）如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A4”是假命题的一个反例．
【详解】解：说明命题“若X2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是：X=-5，
故答案为：X=-5．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的命题叫做定理，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
59．（2023·江苏无锡·校考二模）能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，b的值可以是 ．
【答案】a=3，b=-3（答案不唯一）
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一组a，b的值即可．
【详解】解：当a=3，b=-3时，
a+b=3-3=0，
∴a=3，b=-3时，a+b是有理数．
故答案为：a=3，b=-3（答案不唯一）．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例．
题型19 写出命题的逆命题
60．（2023·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】根据逆命题定义得到各选项的逆命题，再判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意，
B选项逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
C选项逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
D选项逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意，
故选D；
【点睛】本题考查逆命题及命题真假判断，解题的关键是将原命题的结论与题设对调得到逆命题．
61．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直D．正方形的对角线互相平分且相等
【答案】A
【分析】先写出各个选项的逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故A符合题意；
B、逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，是假命题，故B不符合题意；
C、逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”，是假命题，故C不符合题意；
D、逆命题为“对角线互相平分且相等的四边形是正方形”，是假命题，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，再进行判断．
62．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题是 ．
【答案】如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数
【分析】根据逆命题的定义，即可．
【详解】∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，
∴命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题为：如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数，
故答案为：如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义．
63．（2023·江苏扬州·统考一模）请写出命题“如果a>b，那么a>b”的逆命题是 ．
【答案】如果a>b，那么a>b
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案．
【详解】解：命题“如果|a>b，那么a>b”的逆命题是：如果a>b，那么a>b．
故答案为：如果a>b，那么a>b．
【点睛】本题考查的是命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．
64．（2023·安徽宿州·统考一模）命题“如果3a+3b=0，那么a+b=0”的逆命题为 ．
【答案】如果a+b=0，那么3a+3b=0
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果3a+3b=0，那么a+b=0”的逆命题为如果a+b=0，那么3a+3b=0，
故答案为：如果a+b=0，那么3a+3b=0．
【点睛】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．
题型20 反证法证明中的假设
65．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（ ）
A．a∥bB．c∥bC．a与b相交D．a与c相交
【答案】D
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可
【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，
首先应假设a与c不平行，即a与c相交．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
66．（2020·浙江杭州·模拟预测）用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a//b”时，应先假设（ ）
A．a与b不平行B．a⊥bC．a，b都不垂直于cD．a不垂直于c
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设a与b不平行，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
67．（2018·江苏泰州·统考一模）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EFB．假设AB∥EFC．假设CD和EF不平行D．假设AB和EF不平行
【答案】C
【详解】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，
所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故选C.
题型21 用反证法证明命题
68．（2019·河北唐山·校联考一模）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B90°，连接AE,BE，则△ABE即为所求；
（2）根据平移画出MN，连接EN，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，△ABE即为所求；

（2）解：如图所示，MN，EN即为所求；

EN=12+12=2．
【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．（2023·江西·统考中考真题）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
(2)在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）如图，取格点K，使∠AKB=90°，在K的左上方的格点C满足条件，再画三角形即可；
（2）利用小正方形的性质取格点M，连接PM交AB于Q，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求作的三角形；

（2）如图，Q即为所求作的点；

【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．
26．（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．

(1)在图①中，△ABC的面积为92；
(2)在图②中，△ABC的面积为5
(3)在图③中，△ABC是面积为52的钝角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以AB=3为底，设AB边上的高为h，依题意得S△ABC=12AB·h=92，解得h=3，即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，AB=32+12=10，以AB=10为底，设AB边上的高为h，依题意得S△ABC=12AB·h=5，解得h=10，将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C；
（3）作BD=AB=5，过点D作CD∥AB，交于格点C，连接A、B、C即可．
【详解】（1）解：如图所示，
以AB=3为底，设AB边上的高为h，
依题意得：S△ABC=12AB·h=92
解得：h=3
即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）由网格可知，
AB=32+12=10
以AB=10为底，设AB边上的高为h，
依题意得：S△ABC=12AB·h=5
解得：h=10
将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C，
答案不唯一，
（3）如图所示，
作BD=AB=5，过点D作CD∥AB，交于格点C，

由网格可知，
BD=AB=22+12=5，AD=10，
∴△ABD是直角三角形，且AB⊥BD
∵CD∥AB
∴S△ABC=12AB·BD=52．
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
27．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（答题卷用）
(1)分别求点P3,P4表示的度数．
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)点P3表示60°；点P4表示15°
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可求出∠OP2C度数，根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数，即可求出∠P3OA的度数，从而知道P3点表示度数；利用半径相等即可求出∠P2OD=∠P2DO，再根据平行线的性质即可求出∠P2OD=∠DOA以及对应的度数，从而知道P3点表示度数．
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【详解】（1）解：①∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA．
∴∠OP2C=∠P2OA=30°
由作图可知，EF是OP2的中垂线，

∴OP3=P3P2．
∴∠P3OP2=∠P3P2O=30°．
∴∠P3OA=∠P3OP2+∠P2OA=60°．
∴点P3表示60°．
②由作图可知，P2D=P2O．
∴∠P2OD=∠P2DO．
又∵CB∥OA，
∴∠P2DO=∠DOA．
∴∠P2OD=∠DOA=12∠P2OA=15°．
∴点P4表示15°．
故答案为：点P3表示60°，点P4表示15°．
（2）解：如图所示，
作∠P3OP4的角平分线等．如图2，点P5即为所求作的点．

∵点P3表示60°，点P4表示15°．
∠P5OA= 12∠P3OA-∠P4OA+∠P4OA=12∠P3OA+∠P4OA=1260°+15°=37.5°．
∴P5表示37.5°．
【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点．
作法（如图）
结论

①在CB上取点P1，使CP1=4．
∠P1OA=45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．
∠P2OA=30°，点P2表示30°．
③分别以O,P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E,F，连结EF与BC相交于点P3．
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．
…