2024-2025学年广东省广州外国语学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州外国语学校高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,2)，向量b=(m,3)，若向量a⊥(b−a)，则实数m=( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
2.已知角α∈R，则“α为第二象限角”是“csα0,b>0)的右焦点，直线4x−3y=0与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为( )
A. 2B. 5C. 3D. 10
8.已知函数f(x)=(x+a−1)ex+b2x2+abx−ab在R上单调递增，则ab的最小值为( )
A. −1eB. 1eC. −1D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(x2−2x)6的二项展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式在合并同类项之后共有7项B. 展开式中常数项为15
C. 展开式的系数之和为1D. 展开式的最后一项的系数最大
10.如图是函数f(x)=2sin(3x+φ)的部分图象，下列说法正确的是( )
A. 点A的坐标为(π3,0)
B. φ的一个可能值是π4
C. 将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D. f(−7π15)3 D. E(X2)=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.sin50°cs10°−cs50°cs100°= ______．
13.已知直线y=x+1与曲线y=lnx+a相切，则a的值为______．
14.一只蚂蚁从正四面体A−BCD的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点A的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知首项为1的正项数列{an}满足 an+1− an=14a2．
(1)求a2；
(2)求{an}的通项公式；
(3)求数列{1an+ an}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用，为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek培训，培训结束之后，公司举行了一次DeepSeek专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛，预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
(1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为23，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax+1．
(1)若a=2，求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若对任意x∈(0,+∞)，f(x)=21+x2(x∈R)恒成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为14，第二天改开私家车的概率为34；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为12，第二天改坐班车的概率为12.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为12，该工厂某员工第n天坐班车的概率为Pn．
(Ⅰ)设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为X，求X的分布列与数学期望；
(Ⅱ)求Pn；
(Ⅲ)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1, 22)，右焦点F(1,0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：y=kx(k≠0)与椭圆E交于P，A两点，过点P(x0,y0)作PC⊥x轴，垂足为点C，直线AC交椭圆E于另一点B．
(i)证明：AP⊥BP．
(ii)求△ABP面积的最大值．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.C
6.A
7.B
8.A
9.AC
10.BC
11.ACD
12. 32
13.2
14.2081
15.(1)当n=1时，有 a2− a1=14a2，又a1=1，
所以a2−4 a2+4=0，解得a2=4；
(2)由 an+1− an=1，得{ an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以 an=1+n−1=n，即an=n2；
(3)由1an+ an=1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以Sn=1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
16.(1)记X为甲在预赛答对的题数，则x的取值为1，2，3，4，
所以P(X=3)=C53C31C84=37，P(X=4)=C54C84=114，
记甲进入决赛为事件A，则甲进入决赛的概率为P(A)=P(X=3)+P(X=4)=37+114=12；
(2)由题可知ξ的取值为0，50，150，300，
所以P(ξ=0)=C33×(13)3=127，P(ξ=50)=C31×23×(13)2=29，P(ξ=150)=C32×(23)2×13=49，P(ζ=300)=C33×(23)3=827，
所以ξ的分布列如下：
E(ξ)=0×127+50×29+150×49+300×827=5003(元)，
即甲获得奖金的数学期望为5003元．
17.(1)a=2时，f(x)=lnx+2x+1，
所以f′(x)=x2+1x(x+1)2，
f(1)=1，f′(1)=12，
所以所求切线方程为y−1=12(x−1)，即x−2y+1=0；
(2)因为对任意x∈(0,+∞)，f(x)≤x+12，
所以对任意x∈(0,+∞)，lnx+ax+1≤x+12恒成立．
因为x>0，所以x+1>0，
所以对任意x∈(0,+∞)，a≤(x+1)22−(x+1)lnx恒成立，
设g(x)=(x+1)22−(x+1)lnx(x>0)，则g′(x)=x−1x−lnx，
令ℎ(x)=x−1x−lnx，则ℎ′(x)=1+1x2−1x=x2−x+1x2=(x−12)2+34x2>0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(1)=0，
所以当x∈(0,1)时，g′(x)=ℎ(x)ℎ(1)=0，g(x)在区间(1,+∞)上单调递增；
故当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，且g(x)min=g(1)=2，
所以若a≤g(x)在x∈(0,+∞)上恒成立，则a≤g(x)min=2，
所以实数a的取值范围是(−∞,2]．
18.(1)由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率P2=12×14+12×12=38，
所以X～B(3,38)
X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C30×(58)3×(38)0=125512，
P(X=1)=C31×(58)2×(38)1=225512，
P(X=2)=C32×(58)1×(38)2=135512，
P(X=3)=C33×(58)0×(38)3=27512，
所以X的分布列为：
E(X)=3×38=98；
(2)Pn+1=−14Pn+12，
则Pn+1−25=−14(Pn−25)
又P1=12,P1−25=12−25=110，
所以{Pn−25}是首项为110，公比为−14的等比数列，
所以Pn−25=110(−14)n−1,Pn=25+110(−14)n−1；
(3)由(2)可知，当n趋向于正无穷大时，Pn趋向于25，
所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有10×25=4人，去私家车停车场参加安保工作的应有10×35=6人．
19.(1)由题意椭圆右焦点F(1,0)可得c=1，
因为椭圆E过点(1, 22)，所以1a2+12b2=1，
联立c=11a2+12b2=1a2=b2+c2，解得a= 2b=1c=1，
所以椭圆E的方程为x22+y2=1．
(2)(i)证明：因为直线l：y=kx(k≠0)与椭圆E交于P，A两点，不妨设P为第一象限点，
又P(x0,y0)，PC⊥x轴，如图，所以点A的坐标为(−x0−y0)，点C的坐标为(x0,0)，
设B(x,y)，则有x022+y02=1,x22+y2=1，
两式相减得：(y0−y)(y0+y)(x0−x)(x0+x)=−12，
又kAB=y0+yx0+x,kBP=y0−yx0−x，所以kAB⋅k2P=y0−yx0−x⋅y0+yx0+x=−12，
又kAB=kAC=y02x0=12⋅kPA=k2，所以kBP=−12⋅2k=−1k，
又kAP=k，所以kAP⋅kBP=k⋅(−1k)=−1，所以AP⊥BP．
(ii)由对称性不妨设k>0，P(x0,kx0)在第一象限，
联立y=kxx22+y2=1，消去y得(2k2+1)x2=2，
所以x0= 22k2+1，则|AP|=2|OP|=2 k2+1⋅ 22k2+1，
设直线AP与AB倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1=k,tanθ2=k2，
所以tan∠PAB=tan(θ1−θ2)=k−k21+k⋅k2=kk2+2，
由(i)可得，S△BAP=12|AP|⋅|BP|=12|AP|2⋅tan∠PAB=4k(k2+1)(k2+2)(2k2+1)，
令f(k)=4k(k2+1)(k2+2)(2k2+1)，则f′(k)=−8k6−4k4+4k2+8(k2+2)2(2k2+1)2=−4(k2−1)(2k4+3k2+2)(k2+2)2(2k2+1)2，
令f′(k)=0，则k=1，且当k∈(0,1)时f′(k)>0，当k∈(1,+∞)时f′(k)