2024-2025学年广西桂林市国龙外国语学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西桂林市国龙外国语学校高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.240°是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
2.设复数z=4−3i的共轭复数为z−，则z⋅z−=( )
A. −25B. 10C. 13D. 25
3.已知向量a=(x,−1)，b=(−2,3)，若a//b，则x=( )
A. −23B. 23C. −32D. 32
4.已知α∈(−π2,π2),sin2α=csα，则cs2α=( )
A. 12B. 33C. 3D. 1
5.设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，γ⊥β，则α//γ B. 若l//m，且m⊥α，则l⊥α
C. 若α⊥β，m//α，n⊥β，则m⊥n D. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
6.在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C两点之间的距离是( )千米．
A. 1B. 3C. 6D. 2
7.已知三棱锥P−ABC的体积为1，△ABC是边长为2的正三角形，且PA=2，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
8.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)⋅f(x+2)=13，若f(1)=2，则f(99)=( )
A. 13B. 2C. 132D. 213
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,2)，b=(1,−1)，则( )
A. a+2b=(3,1)
B. |a|= 5
C. cs= 1010
D. a在b方向上的投影向量坐标是(−12,12)
10.函数f(x)=sin(x+π6)+csx，则( )
A. f(x)的最小正周期为2π
B. f(x)的图象关于x=π6对称
C. f(x)在(−π6,π3)上单调递增
D. 当x∈(−π3,π2)时，f(x)的值域为(0, 3]
11.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，AB=BM=1，将△ABM沿直线AM翻折成AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A. 存在某个位置，使得CN⊥AD
B. CN//平面B1AM
C. 异面直线CN与AB1所成的角的余弦值为 55
D. 当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积是4π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=x2−3x+2+(x2−4)i(x∈R)为纯虚数，则x= ______．
13.化简：sin(π+2θ)cs(π2+θ)+cs(π−2θ)sin(3π2−θ)= ______．
14.已知函数f(x)=tan(x+φ)的图象关于点(π6,0)中心对称，则φ的一个值可以是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知单位向量a，b满足a⋅b=λ．
(1)当λ=−12，求|a−λb|的值；
(2)作向量OA=a，OB=b，并设OC=OA+2λOB，求|OC|的最大值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin(A−C)=sinA−sinB．
(1)求C；
(2)若△ABC面积等于 3，c= 13，求sinAsinB的值．
17.(本小题17分)
函数f(x)=2sin(2ωx+π3)(00,n∈N∗,n≥2)的解集为A，求A中所有区间的长度之和(结果用m，n表示)．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：显然180°AD，但AB1=1，AD=2，所以矛盾，A错误；
B选项，作出辅助线，得到四边形QNCM为平行四边形，故CN//QM，从而得到线面平行；
C选项，在B基础上，异面直线CN与AB1所成的角等于QM与AB1所成的角，求出各边长，得到cs∠B1QM= 55，C错误；
D选项，当平面AB1M⊥平面AMCD时，三棱锥B1−AMD的体积最大，求出各边长，得到E即为三棱锥B1−AMD的外接球的球心，半径为1，从而得到三棱锥B1−AMD的外接球的表面积，D正确．
本题考查立体几何综合问题，属于难题．
12.【答案】1
【解析】解：由复数z=x2−3x+2+(x2−4)i(x∈R)为纯虚数，得x2−3x+2=0x2−4≠0，即x=1．
故答案为：1．
根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
13.【答案】csθ
【解析】解：sin(π+2θ)cs(π2+θ)+cs(π−2θ)sin(3π2−θ)
=−sin2θ(−sinθ)−cs2θ(−csθ)=−2sin2θcsθ+(1−2sin2θ)csθ
=2sin2θcsθ+csθ−2sin2θcsθ=csθ．
故答案为：csθ．
由诱导公式和二倍角公式化简即可．
本题考查利用三角恒等变换知识化简求值，属于基础题．
14.【答案】−π6(答案不唯一)
【解析】解：因为f(x)的图象关于点(π6,0)中心对称，
所以π6+φ=kπ2，k∈Z，则φ=−π6+kπ2，k∈Z．
故答案为：−π6(答案不唯一)．
由正切函数的对称性求解即可．
本题考查正切函数的图象与性质，考查数学运算的核心素养．
15.【答案】 32．
3．
【解析】(1)由题意，当λ=−12时，a⋅b=−12，
又a，b为单位向量，则|a|=|b|=1，
则|a−λb|2=|a+12b|2=a2+a⋅b+14b2=1−12+14=34，
故|a−λb|= 32；
(2)由OC=OA+2λOB，
可得|OC|2=|OA+2λOB|2=|a+2λb|2
=a2+4λa⋅b+4λ2b2=1+8λ2，
设OA与OB的夹角为θ，则0≤θ≤π，
又λ=a⋅b=|a|⋅|b|csθ=csθ，
则|λ|=|csθ|≤1，则|OC|2≤9，
当且仅当a与b共线时取等号，
故|OC|的最大值为3．
(1)利用向量数量积的运算律计算即得；
(2)将所求式化成关于λ的表达式，利用向量夹角的范围求得λ的范围，即可求出其最值．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
16.【答案】π3；
4或14．
【解析】(1)∵sin(A−C)=sinA−sinB=sinA−sin(A+C)，
∴sinAcsC−csAsinC=sinA−sinAcsC−csAsinC，
∴2sinAcsC=sinA，
∴csC=12，
∴C=π3．
(2)S△ABC=12absinC= 34ab= 3，
∴ab=4，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−3ab，
∴13=(a+b)2−12，即a+b=5，
若A>C，则a>c= 13，
解得a=4，b=1，
由正弦定理得sinAsinB=ab=4，
若A