2024-2025学年广西桂林中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年广西桂林中学高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z=4−3i，则在复平面内z−对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知四棱锥P−ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图A′B′C′D′为平行四边形，如图所示，已知A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1，则四棱锥P−ABCD的体积为( )
A. 2 B. 4 C. 3 2 D. 12
3.下列说法正确的是( )
A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面
B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线
C. 空间三点确定一个平面
D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
4.王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的( )
A. 四分位数B. 中位数C. 众数D. 均值
5.甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为34，乙每次答对的概率为14在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为( )
A. 14B. 18C. 332D. 964
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的个数为( )
①直线BD1⊥平面A1DC1
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为π2
③三棱锥P−A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]
⑤三棱锥A1−BDC1外接球表面积是3π
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.圆锥SO中，轴截面为正三角形，AB、CD为底面圆的两条相互垂直的直径，点P为BS的中点，则异面直线SA与PD所成角的正弦值为( )
A. 13B. 12C. 22D. 32
8.函数y=csx与y=lg|x|的图象的交点个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,2)，b=(1,−1)，则( )
A. a+2b=(3,1) B. |a|= 5
C. cs= 1010 D. a在b方向上的投影向量坐标是(−12,12)
10.设样本空间Ω={1,2,3,4}含有等可能的样本点，记事件A={1,2}，事件B={1,3}，事件C={3,4}，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B相互独立B. 事件A与事件C相互独立
C. 事件A与事件B互斥D. 事件A与事件C互斥
11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，b=2，则下列结论正确的是( )
A. B的取值范围为(π6,π2)B. BA⋅BC的最小值为−14
C. c的值可能为3D. △ABC的面积最大值为2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足z2=(z−)2，|z|≤1，则|z−2−3i|的最小值是______．
13.在一次招聘面试中，小明要依次回答甲、乙、丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为0.9，0.5，0.4，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为______．
14.已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=7，b=8，csB=−17．
(1)求A；
(2)若D为AC的中点，求BD的长．
16.(本小题15分)
1992年，公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传日”.通过消防宣传日的设立，旨在提醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾事故的发生.某高中学校为增强学生的消防安全意识，组织本校高一、高二共800名学生参加“消防安全，在我心中”的知识竞赛，现从每个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩如下：
高一：90 85 82 85 97 83 88 95 90 85
高二：83 90 97 88 95 85 95 85 80 82
(1)请根据以上20个数据，估计此次参赛学生成绩的第60百分位数、众数和平均数；
(2)若规定95分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选2人作为宣讲代表，则这2人中至少有1人来自高一年级的概率是多少？
17.(本小题15分)
如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为直径，C，D在圆上，AB⊥CD，PO=AB=2，BD= 3．
(1)求证：PC⊥BD；
(2)求PB与平面PAD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3(sinA−sinC)sinB=3b−2ca+c．
(1)求csA；
(2)若BD=34BC,AD= 3．
(i)求bc的最大值；
(ii)求a的最小值．
19.(本小题17分)
如图所示正四棱锥S−ABCD，SA=SB=SC=SD=2，AB= 2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD．
(1)求证：SD⊥AC；
(2)求平面SBC与平面ACP所成角的正弦值；
(3)侧棱SA上是否存在一点E，使得BE//平面PAC，若存在，求SEEA的值；若不存在，试说明理由．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可知，z−=4+3i，
所以在复平面内z−对应的点为(4,3)在第一象限．
故选：A．
根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断．
本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知，四边形ABCD为矩形，AB=CD=3，AD=BC=2，
所以矩形ABCD的面积为3×2=6，
所以四棱锥P−ABCD的体积为13×6×2=4．
故选：B．
由直观图可得到底面ABCD为矩形，同时可求矩形ABCD的面积，然后利用锥体体积公式计算可得答案．
本题考查斜二测法的应用，四棱锥的体积的求解，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误；
对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确；
对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误；
对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误．
故选：B．
根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据异面直线的概念可判断B；根据平面的基本性质可判断C；根据空间异面直线所成角可判断D．
本题考查空间直线的位置关系，涉及平面的基本性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：四分位数在统计学中是把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值，没有代表性；
中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，没有代表性；
众数是一组数据中出现次数最多的数值，没有代表性；
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，所以选择均值较理想．
故选：D．
分别根据百分位数，中位数，众数，均值的定义判断即可求解．
本题考查了众数，平均数，中位数以及百分位数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，设A=“前4次中甲恰好答题3次”，
若前4次中甲恰好答题3次，则4次的答题情况有：甲甲甲乙，甲甲乙甲，甲乙甲甲，
故P(A)=14×14×34+14×34×14+34×14×14=964．
故选：D．
由题知，前4次中甲恰好答题3次的情况有，甲甲甲乙，甲甲乙甲，甲乙甲甲，再利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可．
本题考查互斥事件的概率计算，涉及向量独立事件的概率计算，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接B1D1，正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
因为正方体的棱BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1，
又因为BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1，
所以A1C1⊥平面BB1D1，
又BD1⊂平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，
同理A1D⊥BD1．
又A1D∩A1C1=A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，
所以BD1⊥平面A1C1D，故①正确；
因为CD⊥平面BCB1，CB1⊂平面BCB1，所以CD⊥CB1，
又平面B1CD∩平面BCD=CD，BC⊥CD，BC⊂平面BCD，B1C⊂平面B1CD，
则∠B1CB是平面B1CD与平面BCD的夹角，因为△B1BC为等腰直角三角形，
所以该角大小为π4，故②错误；
因为A1B1/​/AB，A1B1=AB，AB/​/CD，AB=CD，
所以A1B1/​/CD，A1B1=CD，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，因此有A1D/​/B1C，
又因为A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
所以B1C/​/平面A1C1D，
又P∈B1C，所以P到平面A1C1D的距离为定值，
故三棱锥P−A1C1D的体积为定值，故③正确；
因为A1D/​/B1C，所以异面直线AP与A1D所成角就是AP与B1C所成的角，
即图中∠APC或∠APB，设正方体棱长为1，
所以AB1=AC=B1C= 12+12= 2，
当点P为B1C中点时，此时AP⊥B1C，
因为△AB1C是等边三角形，P在线段B1C上，
所以∠APC或∠APB中较小的角的范围是[π3,π2]，故④错误；
三棱锥A1−BDC1的外接球即为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，
因为2R=BD1= BA2+BC2+BD2= 12+12+12= 3，
所以R= 32，
所以三棱锥A1−BDC1外接球表面积是πR2=3π，故⑤正确．
故选：C．
由线面垂直的性质定理与判定定理证明直线BD1⊥平面A1C1D判断①；
找出平面角后可判断②；
由线面平行的性质可判断③；
由异面直线所成的角的定义判断④；
利用三棱锥A1−BDC1的外接球即为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，求解可判断⑤即可．
本题考查立体几何综合问题，属于难题．
7.【答案】C
【解析】解：如图，
连接PO，因为O为AB中点，P为AB中点，所以PO/​/SA，且PO=12SA，
则异面直线SA与PD所成角为∠OPD或其补角，
过点P作PQ⊥AB于点Q，则Q为OB中点，且PQ⊥平面ABC，
设圆锥底面半径为r，则DQ=12r，
因为轴截面为正三角形，AB、CD为底面圆的两条相互垂直的直径，
所以PQ= 34×2r= 32r，DQ= 52r，
所以PD= PQ2+DQ2= 2r，
在三角形POD中，OD=r，PO=r，PD= 2r，
所以三角形POD为等腰直角三角形，∠OPD=45°，故异面直线SA与PD所成角的正弦值为sin∠OPD= 22．
故选：C．
根据题意作出图形，连接PO，过点P作PQ⊥AB于点Q，设圆锥底面半径为r，根据已知条件求出PD、PO、DO，在三角形POD中，可得sin∠OPD，即异面直线SA与PD所成角的正弦值．
本题主要考查异面直线所成角，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：y=csx与y=lg|x|都是偶函数，图象关于y轴对称，
x=4π时，lg4π>lg10=1，根据图象，
函数y=csx与y=lg|x|的图象的交点个数是6个．
故选：D．
分别画出y=csx与y=lg|x|的图象即可得．
本题考查函数的图象，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：a+2b=(1,2)+(2,−2)=(3,0)，A错误；
|a|= 1+4= 5，B正确；
cs=a⋅b|a||b|=1×1+2×(−1) 5 1+1=−1 10− 1010，C错误；
a在b方向上的投影向量坐标是|a|csb|b|=−12(1,−1)=(−12,12)，D正确．
故选：BD．
应用向量的坐标运算求模长、夹角，结合投影向量的定义求投影向量，即可判断各项正误．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，P(A)=P(B)=12，因为A∩B={1}，则P(AB)=14，
则有P(AB)=P(A)⋅P(B)，即事件A与事件B相互独立，故A正确；
对于B，A∩C=⌀，所以P(AC)=0，而P(A)=P(C)=12，
所以P(AC)≠P(A)⋅P(C)，故B错误；
对于C，A∩B={1}，事件A与B可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，A∩C=⌀，事件A与事件C不会同时发生，是互斥事件，故D正确．
故选：AD．
由互斥事件，独立事件的性质以及概率性质逐项判断可得．
本题考查相互独立事件，互斥事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为∠C=π3，且△ABC为锐角三角形，
所以0