2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=lnx−1x在点(1,−1)处的切线与曲线y=ax2+(a−1)x−2只有一个公共点，则实数a的取值范围为( )
A. {1,9}B. {0,1,9}C. {−1,−9}D. {0,−1,−9}
2.为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
3.某产品的销售收入y1，生产成本y2，产量x(x>0)之间满足以下函数，y1=25x2,y2=3x3−2x2，要使利润z=y1−y2最大，则x=( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.已知数列{an}满足2an+1−2=an⋅an+1，且a1=3，则a2023=( )
A. 3B. 12C. −2D. 43
5.在△ABC中，AB=3，AC=5，点N满足BN=2NC，点O为△ABC的外心，则AN⋅AO的值为( )
A. 17B. 10C. 172D. 596
6.奇函数f(x)和偶函数g(x)的图象分别如图1、图2所示，方程f[g(x)]=0和g[f(x)]=0的实根个数分别a，b，则a+b=( )
A. 3B. 7C. 10D. 14
7.已知a=20232025，b=20242024，c=20252023，则( )
A. a>c>bB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b
8.若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值为( )
A. 12B. e24C. 1D. e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设椭圆C：x22+y2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. |PF1|+|PF2|=2 2
B. 离心率e= 62
C. △PF1F2面积的最大值为 2
D. 以线段F1F2为直径的圆与直线x+y− 2=0相切
10.函数f(x)=ax3+bx2−3x+1的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. a=−13，b=−2
B. 若方程f(x)=m(m∈R)有3个不同的实数根，则m∈(1,73)
C. 直线y=−3x是曲线y=f(x)的切线
D. 点(−2,53)是曲线y=f(x)的对称中心
11.已知函数f(x)=ex(x−a)−x−a有两个不同零点x1，x2，x1b>0)，称圆心在原点O，半径为 a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率 22，点(2, 2)在C上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；
(Ⅱ)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1⊥l2，与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2−5x+a．
(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(2,3)内，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为R且满足f(−x)+f(x)=x2，当x≥0时，f′(x)0)，g(x)=e−x，ℎ(x)=f(x)g(x)，ℎ(x)的极大值点为x=0．
(1)求b；
(2)若曲线y=f(x)，y=g(x)上分别存在两点A，B，C，D，使得四边形ABCD为边平行于坐标轴的矩形，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.C
8.B
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.−34
13.18
14.4
15.(1)因为男生10500人，女生4500人，所以抽取女生占总人数的比例为310．
又因为分层抽样收集300位学生，所以女生样本数据应收集为310×300=90．
(2)由频率分布直方图可知，
学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为(0.15+0.125+0.075+0.025)×2=0.75．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75．
(3)由(2)可知运动时间超过4小时的概率为34，则X～B(4,34)，
所以P(X=0)=C40×(14)4×(34)0=1256，
P(X=1)=C41×(14)3×(34)1=364，
P(X=2)=C42×(14)2×(34)2=27128，
P(X=3)=C43×(14)1×(34)3=2764，
P(X=4)=C44×(14)0×(34)4=81256，
则X的分布列为：
则E(X)=4×34=3．
16.解：(Ⅰ)由条件可得： ca= 22 4a2+2b2=1 解得a=2 2,b=2，
所以椭圆的方程为y28+x24=1，
卫星圆的方程为x2+y2=12 ，
(Ⅱ)①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，
因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=2或x=−2，
当l1方程为x=2时，此时l1与“卫星圆”交于点(2,2 2)和(2,−2 2)，
此时经过点(2,2 2)和(2,−2 2)，且与椭圆只有一个公共点的直线是y=±2 2，
∵l1⊥l2，
∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴|MN|=4 3·
②当l1,l2都有斜率时，设点Px0,y0，其中x02+y02=12，
设经过点Px0,y0与椭圆只有一个公共点的直线为x=ty−y0+x0，
则x=ty−y0+x0x24+y28=1,
消去y得到(1+2t2)y2+4t(x0−ty0)y+2(x0−ty0)2−8=0，
∴Δ=(64−8y02)t2+16x0y0t+32−8x02=0·
∴t1⋅t2=32−8x0264−8y02=32−8(12−y02)64−8y02=−1·
所以t1·t2=−1，满足条件的两直线l1,l2垂直.
∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴|MN|=4 3，
综合①②知：因为l1,l2经过点Px0,y0，又分别交其卫星圆于点MN，且l1,l2垂直，
所以线段MN为卫星圆x02+y02=12的直径，
所以弦长MN为定值4 3．

17.解：(1)由题意，可得Δ=25−4a2>0a≠0，则−52