2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=lnx−1x在点(1,−1)处的切线与曲线y=ax2+(a−1)x−2只有一个公共点，则实数a的取值范围为( )
A. {1,9}B. {0,1,9}C. {−1,−9}D. {0,−1,−9}
2.为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
3.某产品的销售收入y1，生产成本y2，产量x(x>0)之间满足以下函数，y1=25x2,y2=3x3−2x2，要使利润z=y1−y2最大，则x=( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.已知数列{an}满足2an+1−2=an⋅an+1，且a1=3，则a2023=( )
A. 3B. 12C. −2D. 43
5.在△ABC中，AB=3，AC=5，点N满足BN=2NC，点O为△ABC的外心，则AN⋅AO的值为( )
A. 17B. 10C. 172D. 596
6.奇函数f(x)和偶函数g(x)的图象分别如图1、图2所示，方程f[g(x)]=0和g[f(x)]=0的实根个数分别a，b，则a+b=( )
A. 3B. 7C. 10D. 14
7.已知a=20232025，b=20242024，c=20252023，则( )
A. a>c>bB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b
8.若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值为( )
A. 12B. e24C. 1D. e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设椭圆C：x22+y2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. |PF1|+|PF2|=2 2
B. 离心率e= 62
C. △PF1F2面积的最大值为 2
D. 以线段F1F2为直径的圆与直线x+y− 2=0相切
10.函数f(x)=ax3+bx2−3x+1的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. a=−13，b=−2
B. 若方程f(x)=m(m∈R)有3个不同的实数根，则m∈(1,73)
C. 直线y=−3x是曲线y=f(x)的切线
D. 点(−2,53)是曲线y=f(x)的对称中心
11.已知函数f(x)=ex(x−a)−x−a有两个不同零点x1，x2，x1b>0)，称圆心在原点O，半径为 a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率 22，点(2, 2)在C上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；
(Ⅱ)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1⊥l2，与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2−5x+a．
(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(2,3)内，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为R且满足f(−x)+f(x)=x2，当x≥0时，f′(x)0)，g(x)=e−x，ℎ(x)=f(x)g(x)，ℎ(x)的极大值点为x=0．
(1)求b；
(2)若曲线y=f(x)，y=g(x)上分别存在两点A，B，C，D，使得四边形ABCD为边平行于坐标轴的矩形，求a的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=lnx−1x的导数为f′(x)=1x+1x2，
可得在点(1,−1)处的切线的斜率为k=1+1=2，
切线的方程为y+1=2(x−1)，即y=2x−3，
由切线y=2x−3与曲线y=ax2+(a−1)x−2只有一个公共点，
可得a=0时，由y=2x−3y=−x−2，解得x=13y=−73，成立；
当a≠0时，可得ax2+(a−1)x−2=2x−3，即ax2+(a−3)x+1=0有两个相等的实数根，
即Δ=(a−3)2−4a=0，解得a=1或9，
综上，可得a=0，1，9．
故选：B．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，讨论a=0，a≠0，联立切线方程和曲线y=ax2+(a−1)x−2，解方程可得所求取值范围．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线与曲线的交点个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
2.【答案】C
【解析】解：所有分组的方式C52种，其中有4种不合题意，
故共有(C52−4)⋅A22=12种分配方式
故选：C．
所有分组的方式C52种，其中有4种不合题意，由此可得．
本题考查排列组合的问题，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：依题意，x>0，z=−3x3+27x2，求导得z′=−9x2+54x=−9x(x−6)，
当06时，z′e2，利用导数探讨单调性即可比较大小．
【解答】
解：令f(x)=lnxx+1,x>e2，则f′(x)=1+1x−lnx(x+1)2，
令ℎ(x)=1+1x−lnx,x>e2，ℎ′(x)=−1x2−1x1，lna>lnb，因此a>b；
令g(x)=ln(x+1)x,x>e2，求导得g′(x)=xx+1−ln(x+1)x2，当x>e2时，ln(x+1)>1>xx+1，
即g′(x)g(2025)>0，
即lnblnc=g(2024)g(2025)>1，lnb>lnc，因此b>c，
所以a>b>c．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：显然首先m>0，x>0，
不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm⇔ex+x≥mx2+lnm−2ln1x=eln(mx2)+ln(mx2)，
令f(x)=ex+x，(x>0)，
则f′(x)=ex+1>0，
所以f(x)在定义域内严格单调递增，
所以若有f(x)≥f(ln(mx2))成立，则必有x≥ln(mx2)=lnm+2lnx，
即lnm≤x−2lnx对于任意的x>0恒成立，
令g(x)=x−2lnx，(x>0)，则g′(x)=1−2x=x−2x，
当00恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由题意，椭圆C：x22+y2=1(a>b>0)，
可得a= 2，b=1，
可得c= a2−b2=1，
所以焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，
根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=2 2，
所以A正确；
椭圆的离心率为e=ca=1 2= 22，
所以B错误；
当P在椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积最大，
即△PF1F2面积的最大值为12×2c×b=bc=1，
所以C错误；
由原点(0,0)到直线x+y− 2=0的距离d= 2 12+12=1=c，
所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y− 2=0相切，
所以D正确．
故选：AD．
由椭圆的性质，结合椭圆的定义及点到直线的距离公式求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：求导f′(x)=3ax2+2bx−3，
根据图象可得f′(−3)=0f′(−1)=0，即27a−6b−3=03a−2b−3=0，解得a=−13b=−2，故A正确；
则f(x)=−13x3−2x2−3x+1，
由图可知，f(−3)=9−18+9+1=1，f(−1)=13−2+3+1=73，
根据f(x)=m有3个不同的实数根，则10,g(x)在(0,+∞)递增，
g(x)min=g(0)=0，x→+∞，g(x)→+∞，所以a>0，故A错误，B正确；
(ex1+1)(ex2+1)(ex1+ex2)=(ex1+ex2+2)(ex1+ex2)，
由基本不等式：ex1+ex2>2 ex1ex2=2，
所以(ex1+ex2+2)(ex1+ex2)>8，故C正确；
对于D，由x1+x2=0，即证：a3l−1；
方法一：不等式放缩：et−3t+1>1+t+12t2−3t+1=12(t2−4t+4)⩾0；
方法二：令ℎ(t)=et−3t+1⇒ℎ′(t)=et−3，易得：t=ln3时取最小值，代入可得成立，故D正确；
故选：BCD．
根据f(x)=0⇒a=x(ex−1)ex+1，令g(x)=x(ex−1)ex+1，显然g(x)为偶函数，g′(x)=e2x+2xex−1(ex+1)2，当x>0吋，g′(x)=e2x+2xex−1(ex+1)2>0,g(x)在(0,+∞)递增，g(x)min=g(0)=0，x→+∞，g(x)→+∞，所以a>0，故A错误，B正确；
由基本不等式：ex1+ex2>2 ex1ex2=2，得到(ex1+ex2+2)(ex1+ex2)>8，故C正确；对于D，由x1+x2=0，即证：a3l−1；两种方法即可求解．
本题考查了导数单调性的综合应用，属于中档题．
12.【答案】−34
【解析】解：由tan(θ+π4)=−23tanθ，
得tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=tanθ+11−tanθ=−23tanθ，整理得2tan2θ−5tanθ−3=0，
解得tanθ=−12(舍)，或tanθ=3，
tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×31−32=−34．
故答案为：−34．
由已知求解tanθ，再由二倍角公式得答案．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
13.【答案】18
【解析】解：连AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，∴AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC，
∵AD∩PO=O，∴BC⊥面ADP，可得BC⊥PA，BC⊥PD．
同理AC⊥PB，AB⊥PC．
由S△ABC⋅S△OBC=S△PBC2，可得AD⋅OD=PD2，
且∠PDO=∠PDA，∴△POD∽△APD，
∴∠APD=∠POD=90°，
∴PA⊥PD，又PA⊥BC，BC∩PD=D，∴AP⊥面PBC，
∴PA⊥PB，又PB⊥AC，且AP∩AC=A，
∴PB⊥ 面APC，即可得PB⊥PC，
故PA，PB，PC两两互相垂直，
∴三棱锥P−ABC的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，
又三棱锥P−ABC的外接球半径为3，
∴PA2+PB2+PC2=36，
则S△PAB+S△PBC+S△PAC=PA⋅PB2+PB⋅PC2+PA⋅PC2≤PA2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC24=18．
所以则S△PAB+S△PBC+S△PAC的最大值为18，当且仅当PA=PB=PC=2 3时，等号成立．
故答案为：18．
连AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，可得BC⊥PA，AC⊥PB，AB⊥PC．
由S△ABC⋅S△OBC=S△PBC2，可得△POD∽△APD，PA⊥PD，即可得PA，PB，PC两两互相垂直，
利用三棱锥P−ABC的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，即可求解．
本题考查了空间线面垂直，三棱锥外接球，考查了转化思想、计算能力，属于难题．
14.【答案】4
【解析】解：根据题意可得，
2a+b+1a−b+4a+2b=a−b+a+2b+1a−b+4a+2b=a−b+1a−b+a+2b+4a+2b，
因a>b>0，所以a−b>0，a+2b>0，
所以a−b+1a−b+a+2b+4a+2b≥2 (a−b)×1a−b+2 (a+2b)×4a+2b=6，
即2a+b+1a−b+4a+2b≥6，
当且仅当a−b=1a−ba+2b=4a+2b时等号成立，
此时a−b=1a+2b=2，解得a=43b=13，所以ab=4．
故答案为：4．
先利用基本不等式求最值，根据取等条件得a−b=1a−ba+2b=4a+2b，即a=43b=13即得．
本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
15.【答案】90；
0.75；
分布列见解析，E(X)=3．
【解析】(1)因为男生10500人，女生4500人，所以抽取女生占总人数的比例为310．
又因为分层抽样收集300位学生，所以女生样本数据应收集为310×300=90．
(2)由频率分布直方图可知，
学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为(0.15+0.125+0.075+0.025)×2=0.75．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75．
(3)由(2)可知运动时间超过4小时的概率为34，则X～B(4,34)，
所以P(X=0)=C40×(14)4×(34)0=1256，
P(X=1)=C41×(14)3×(34)1=364，
P(X=2)=C42×(14)2×(34)2=27128，
P(X=3)=C43×(14)1×(34)3=2764，
P(X=4)=C44×(14)0×(34)4=81256，
则X的分布列为：
则E(X)=4×34=3．
(1)根据分层抽样的定义即可求解；
(2)利用样本频率估计总体概率；
(3)运动时间超过4小时的概率为34，结合分布列和数学期望的定义求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望、二项分布、频率分布直方图的应用等，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)由条件可得： ca= 22 4a2+2b2=1 解得a=2 2,b=2，
所以椭圆的方程为y28+x24=1，
卫星圆的方程为x2+y2=12 ，
(Ⅱ)①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，
因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=2或x=−2，
当l1方程为x=2时，此时l1与“卫星圆”交于点(2,2 2)和(2,−2 2)，
此时经过点(2,2 2)和(2,−2 2)，且与椭圆只有一个公共点的直线是y=±2 2，
∵l1⊥l2，
∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴|MN|=4 3·
②当l1,l2都有斜率时，设点Px0,y0，其中x02+y02=12，
设经过点Px0,y0与椭圆只有一个公共点的直线为x=ty−y0+x0，
则x=ty−y0+x0x24+y28=1,
消去y得到(1+2t2)y2+4t(x0−ty0)y+2(x0−ty0)2−8=0，
∴Δ=(64−8y02)t2+16x0y0t+32−8x02=0·
∴t1⋅t2=32−8x0264−8y02=32−8(12−y02)64−8y02=−1·
所以t1·t2=−1，满足条件的两直线l1,l2垂直.
∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴|MN|=4 3，
综合①②知：因为l1,l2经过点Px0,y0，又分别交其卫星圆于点MN，且l1,l2垂直，
所以线段MN为卫星圆x02+y02=12的直径，
所以弦长MN为定值4 3．

【解析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，属于拔高题．
(Ⅰ)由条件可得： ca= 22 4a2+2b2=1，求得a和b，进而求得椭圆与“卫星圆”的方程；
(Ⅱ)分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率;②当l1，l2都有斜率．
当l1,l2中有一条无斜率时，求得l1,l2方程，知l1⊥l2，求得|MN|=4 3;当l1,l2都有斜率时，设点Px0,y0，其中x02+y02=12，设经过点Px0,y0与椭圆只有一个公共点的直线为x=ty−y0+x0，代入椭圆方程求得t1·t2=−1，满足条件的两直线l1,l2垂直，求得|MN|=4 3，故弦长MN为定值．
17.【答案】解：(1)由题意，可得Δ=25−4a2>0a≠0，则−52