2024-2025学年云南省丽江市永胜一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省丽江市永胜一中高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=4i1−i，则复数z的模等于( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
2.设命题p：∃n∈N，n2>2n+5，则p的否定为( )
A. ∀n∈N，n2>2n+5B. ∀n∈N，n2≤2n+5
C. ∃n∈N，n2≤2n+5D. ∃n∈N，n2b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. (0, 63)B. ( 63,1)C. ( 23,1)D. (0, 23)
二、多选题：本题共3小题，共22分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.校园合唱比赛中，高一(4)班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下(满分10分)：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是( )
A. 该班的平均得分是9.0分
B. 该班得分的第70百分位数是9.1分
C. 该班得分的方差是0.72
D. 若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD= 2AD，点E为线段PB上的动点(不包括端点)，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱锥的体积为 23
B. 一定存在点E，使AE//平面PCD
C. 一定存在点E，使PB⊥平面ACE
D. AE+CE的最小值为2
11.已知圆F1：(x+2)2+y2=4，圆F2：(x−2)2+y2=16，动圆P与圆F1外切于点M，与圆F2内切于点N，圆心P的轨迹记为曲线C，则( )
A. C的方程为x29+y25=1
B. ∠MPN的最小值为120°
C. MP⋅PF1+NP⋅PF2≤12
D. 曲线C在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x9+y0y5=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于______．
13.(1−2x)8展开式中第4项的系数是______．
14.克罗狄斯⋅托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，且AC= 3BD,∠ADC=2∠BAD.若AB⋅CD+BC⋅AD=4 3，则圆O的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足bcsC+ccsB=2acsA．
(1)求角A；
(2)若D点在线段BC上，且AD平分∠BAC，若BD=2CD，且AD= 3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2elnxx−1．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)已如函数g(x)=3x3+2ax2+1，若∀x1，x2∈[1,e]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数fk(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+k)，其中k为正整数．
(1)当k=2时，求f2(x)在R上极值点；
(2)当1≤n≤k=100时，记数列an=fk′(0)fn′(0)fk−n′(0)，有限数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{anbn}的前100项和(化成最简形式)．
18.(本小题17分)
若数列{an}(1≤n≤k,n∈N∗,k∈N∗)满足an∈{0,1}，则称数列{an}为k项0−1数列.集合Mk是由所有的k项0−1数列构成的，现从集合Mk中任意取出两个数列{an}，{bn}，记随机变量X=i=1k|ai−bi|．
(1)求集合Mk中元素的个数；
(2)求概率P(X=m)(m=1,2,⋯,k)的值；
(3)若X的期望E(X)>16，求k的最小值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，B2且|B1B2|=2，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当k=2时，求△OMN的面积；
(3)求证：直线B1M与直线B2N的交点T恒在一条定直线上．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.D
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.AC
11.AD
12.0.5
13.−448
14.2
15.解：(1)bcsC+ccsB=2acsA，
则由正弦定理可得，sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，即sin(B+C)=2sinAcsA，
∵sin(B+C)=2sinAcsA，
∴sinA=2sinAcsA，
∵01，
所以数列{ck}是递增函数．
因为ck=k2(1+12k−1)，
所以c31=312×(1+1231−1)16，
所以k的最小值为32．
19.解：(1)由题意可得e=ca= 222b=2c2=a2−b2，解得：a2=2，b2=1，
所以椭圆的方程为：x22+y2=1；
(2)由题意可得直线MN的方程为：y=2x+2，设M(x1,y2)，N(x2,y2)，
联立x22+y2=1y=2x+2，整理可得：9x2+16x+6=0，
x1+x2=−169，x1x2=69=23，
所以弦长|MN|= 1+22⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 5⋅ 16281−4×23= 5⋅2 109，
O到直线MN的距离d=2 5，
所以S△MON=12×|MN|⋅d=12× 5⋅2 109⋅2 5=2 109；
(3)证明：设直线MN的方程为：y=kx+2，设M(x1,y2)，N(x2,y2)，
联立y=kx+2x22+y2=1，整理可得：(1+2k2)x2+8kx+6=0，
所以△=64k2−4×6×(1+2k2)>0，可得：k2>32，
且x1+x2=−8k1+2k2，x1x2=61+2k2，
由(1)可得B1(0,−1)，B2(0,1)，设T(m,n)，
由T，M，B1三点共线，所以n+1m=y1+1x1=kx1+3x1=k+3x1，①
由T，M，B2三点共线：n−1m=y2−1x2=kx2+1x2=k+1x2，②
由①+②×3可得：n+1m+3n−3m=4k+3(x1+x2)x1x2=4k+3⋅−8k1+2k261+2k2=0，
所以可得4n−2=0，解得：n=12，
所以点T恒在直线y=12上． X
1
2
3
...
k
P
Ck12k−1
Ck22k−1
Ck32k−1
...
Ckk2k−1