2024-2025学年云南省丽江市永胜一中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省丽江市永胜一中高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=4i1−i，则复数z的模等于( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
2.设命题p：∃n∈N，n2>2n+5，则p的否定为( )
A. ∀n∈N，n2>2n+5B. ∀n∈N，n2≤2n+5
C. ∃n∈N，n2≤2n+5D. ∃n∈N，n2b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. (0, 63)B. ( 63,1)C. ( 23,1)D. (0, 23)
二、多选题：本题共3小题，共22分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.校园合唱比赛中，高一(4)班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下(满分10分)：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是( )
A. 该班的平均得分是9.0分
B. 该班得分的第70百分位数是9.1分
C. 该班得分的方差是0.72
D. 若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD= 2AD，点E为线段PB上的动点(不包括端点)，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱锥的体积为 23
B. 一定存在点E，使AE//平面PCD
C. 一定存在点E，使PB⊥平面ACE
D. AE+CE的最小值为2
11.已知圆F1：(x+2)2+y2=4，圆F2：(x−2)2+y2=16，动圆P与圆F1外切于点M，与圆F2内切于点N，圆心P的轨迹记为曲线C，则( )
A. C的方程为x29+y25=1
B. ∠MPN的最小值为120°
C. MP⋅PF1+NP⋅PF2≤12
D. 曲线C在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x9+y0y5=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于______．
13.(1−2x)8展开式中第4项的系数是______．
14.克罗狄斯⋅托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，且AC= 3BD,∠ADC=2∠BAD.若AB⋅CD+BC⋅AD=4 3，则圆O的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足bcsC+ccsB=2acsA．
(1)求角A；
(2)若D点在线段BC上，且AD平分∠BAC，若BD=2CD，且AD= 3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2elnxx−1．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)已如函数g(x)=3x3+2ax2+1，若∀x1，x2∈[1,e]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数fk(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+k)，其中k为正整数．
(1)当k=2时，求f2(x)在R上极值点；
(2)当1≤n≤k=100时，记数列an=fk′(0)fn′(0)fk−n′(0)，有限数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{anbn}的前100项和(化成最简形式)．
18.(本小题17分)
若数列{an}(1≤n≤k,n∈N∗,k∈N∗)满足an∈{0,1}，则称数列{an}为k项0−1数列.集合Mk是由所有的k项0−1数列构成的，现从集合Mk中任意取出两个数列{an}，{bn}，记随机变量X=i=1k|ai−bi|．
(1)求集合Mk中元素的个数；
(2)求概率P(X=m)(m=1,2,⋯,k)的值；
(3)若X的期望E(X)>16，求k的最小值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，B2且|B1B2|=2，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当k=2时，求△OMN的面积；
(3)求证：直线B1M与直线B2N的交点T恒在一条定直线上．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，属于基础题．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】
解：∵z=4i1−i=4i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i，
∴|z|= (−2)2+22=2 2．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查．
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，命题p：∃n∈N，n2>2n+5，则命题p的否定为：∀n∈N，n2≤2n+5．
故选B．
3.【答案】D
【解析】解：因为A(0,0)，B(λ2,1)，C(λ,−2)，D(2,−1)，
所以AB=(λ2,1)，DC=(λ−2,−1)，
若AB与DC共线，则−λ2=λ−2，
解得，λ=1或−2．
故选：D．
结合向量共线的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为 3sinθ−csθ=23，所以 32sinθ−12csθ=13，
所以sin(θ−π6)=13，又因为θ∈(0,π2)，所以θ−π6∈(−π6,π3)，
所以cs(θ−π6)= 1−sin2(θ−π6)= 1−19=2 23．
故选：D．
由 3sinθ−csθ=23求出sin(θ−π6)=13，利用同角的三角函数关系求出cs(θ−π6).
本题考查了三角函数的求值运算问题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，
∴人数比例为400：200=2：1，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有C40040⋅C20020 种．
故选：D．
根据分层抽样先进行计算，然后利用组合公式进行求解即可．
本题主要考查分层抽样以及简单的计数问题，利用组合公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，记正方体的另一个顶点为C，连接BC，交MN于点O，
在正方体的底面中，MN⊥BC，
∵AC⊥平面CMN，MN⊂平面CMN，∴MN⊥AC，
又∵AC、BC是平面ABC内的相交直线，∴MN⊥平面ABC，可得AB⊥MN，
对照各个选项，可知A、B、D均不正确，C项符合题意．
故选：C．
根据题意，利用正方体的性质与线面垂直的判定定理，证出MN⊥平面ABC，从而得出AB⊥MN，即可得到本题的答案．
本题主要考查线面垂直的判定定理、正方体的性质及其应用等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：如下图所示，设圆柱的底面半径为r，高为ℎ，圆柱的外接球半径为R，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R，
则O为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得(2r)2+ℎ2=(2R)2．
本题中，∵AD⊥平面DEF，设△DEF的外接圆为圆O1，
可将三棱锥A−DEF内接于圆柱O1O2，如下图所示：
设△DEF的外接圆直径为2r，AD=ℎ，
该三棱锥的外接球直径为2R，则(2R)2=(2r)2+ℎ2．
如下图所示：
设CF=x，则0