2024-2025学年甘肃省定西市渭源一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省定西市渭源一中高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z−2z−=1+3i，则|z|=( )
A. 3B. 3C. 2D. 2
2.下列向量的概念错误的是( )
A. 长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B. 零向量和任何向量都是共线向量
C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D. a//b，b//c，则a//c
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,=π3,a⊥(a+λb)，则实数λ=( )
A. −1B. 1C. 12D. −12
4.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB//DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若CA=λCE+μDB，则λ+μ的值为( )
A. 65B. 85C. 2D. 83
5.用斜二测画法画水平放置的△ABC，其直观图△A′B′C′如图所示，其中B′O′=C′O′=2.若原△ABC的周长为10，则A′O′=( )
A. 52B. 152C. 5D. 15
6.某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱，圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为( )
A. 512B. 712C. 54D. 74
7.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为( )．
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
8.已知四面体PABC中，∠ABC=π3，PA=BC=2AB=2，则当四面体PABC的体积最大时，其外接球的表面积为( )
A. 6πB. 7πC. 8πD. 9π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=3+4i，z2=−2−i，则下列说法正确的是( )
A. z12=|z1|2
B. 复数z1z2对应的点位于复平面第四象限
C. |z1⋅z2−|=5 5
D. 若复数z满足|z−z1|=5，则|z−z2|的最大值是5+5 2
10.若m，n，l是空间中三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m//β，m⊂α，α∩β=l，则m//l
B. 若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β
C. 若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β
D. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//β
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若csA>csB，则a>b
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
C. 若B=π6，c=4，b=2 3，则满足条件的△ABC有两个
D. 若acsB=bcsA，则△ABC为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a，b，c满足a与b的夹角为锐角，|a|=4，|b|=2，|c|=1，且|b+ta|的最小值为 3，向量(c−12a)⋅(c−b)的取值范围是______．
13.如果满足∠ABC=45°，AB=6，AC=b的△ABC有且只有一个，那么实数b的取值范围是______．
14.若事件A和B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.6，则P(A∪B−)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，记m=(2c,1)，n=(2a−b,csB)，且m//n．
(1)求角C；
(2)若c= 3，求2b−a的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，侧棱PD⊥底面ABCD，且CD=2PD=2AB=4，点E是PC的中点，连接BE．
(1)证明：BE//平面PAD；
(2)若AD=AB，证明：BC⊥平面PBD；
(3)若二面角A−PB−D的正弦值为35，求AD的长．
17.(本小题15分)
某初级中学正在开展“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的创文活动.为了了解该校志愿者参与服务的情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查.根据调查数据绘制了不完整统计图(如图)，条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者人数与样本容量的百分比．
(1)请补全条形统计图．
(2)请你求出扇形统计图中教师所对应的扇形的圆心角的度数．
(3)若该校共有志愿者600人，则该校七年级大约有多少名志愿者？
18.(本小题17分)
在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X=2的概率．
19.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)试判断直线BD1与平面ACE的位置关系，并说明理由；
(2)若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，求点B到平面AB1C的距离．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，由z−2z−=a+bi−2(a−bi)=−a+3bi=1+3i，
∴−a=1，3b=3，解得a=−1，b=1，
∴z=−1+i，∴|z|= (−1)2+12= 2．
故选：D．
设z=a+bi，(a,b∈R)，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数z，根据复数的模长公式即可求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确，
对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确，
对于C，相等向量的模长和方向都相同，一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确，
对于D，对于a//b，b/​/c，当b为零向量时，此时不一定能得到a/​/c，故D错误．
故选：D．
根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解．
本题考查的知识点：向量的定义，共线向量，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由a⊥(a+λb)，可得a2+λa⋅b=0，
又|a|=1,|b|=2,=π3，
则有1+1×2×12λ=0，解得λ=−1．
故选：A．
由向量垂直，得数量积为0，列方程即可求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量坐标运算性质、向量基本定理、方程解法，考查了推理能与计算能力，属于基础题．
如图所示，建立直角坐标系，利用向量坐标运算性质、向量基本定理即可得出．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB=1，则D(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，
B(1,2)，E(0,1)．
CA=(−2,2)，CE=(−2,1)，DB=(1,2)，
∵CA=λCE+μDB，
∴(−2,2)=λ(−2,1)+μ(1,2)，
∴−2λ+μ=−2λ+2μ=2，
解得λ=65，μ=25．
则λ+μ=85．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：可由直观图△A′B′C′画出原图△ABC，如图所示，
可得BO=CO=B′O′=C′O′=2，所以2AB=10−4=6，即AB=3，
则AO= AB2−BO2= 32−22= 5，所以A′O′= 52．
故选：A．
根据斜二测画法的规则，由直观图△A′B′C′画出原图△ABC，得到BO=2，AB=3，求得AO= 5，进而得到A′O′的长．
本题主要考查斜二测画法的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设圆台上下底面半径分别为r，2r，高为ℎ，
则圆柱的底面半径为2r，高为ℎ，
所以圆台与圆柱的体积之比为13×(πr2+4πr2+2πr2)×ℎ4πr2ℎ=712．
故选：B．
根据圆台与圆柱的体积公式，即可求解．
本题考查圆台与圆柱的体积问题，属基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了方差的性质，属于基础题．
根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，即可求出新数据的方差．
【解答】
解：∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，
根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，
∴数据10x1，10x2，…，10xn的方差为：100×0.01=1．
故本题选C．
8.【答案】C
【解析】解：设P到平面ABC的距离为d，
则VP−ABC=13S△ABC×d=13×12×AB×BCsin∠ABC×d= 36d，
又0csB，∴A