2024-2025学年甘肃省定西市陇西一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省定西市陇西一中高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z⋅(1+i)=4+3i，则|z|=( )
A. 5 22B. 52C. 22D. 12
2.已知集合A={−2,−1,0,1}，B={x|x2≤3}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1}D. {0,1,2}
3.已知f(x)=ax2+(b−3)x+3，x∈[a2−2,a]是偶函数，则a+b=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.如图，在正方体ABCD−A ​1B ​1C ​1D ​1中，若E，F分别是棱AA ​1和AB的中点，则EF和BC ​1所成的角是 ( )
A. 30°B. 60°C. 45°D. 120°
5.已知α是第四象限角，若tan(α−π4)=−7，则sin2α=( )
A. 2425B. 1225C. −1225D. −2425
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB−sinA=13sinC，4sinA−3sinB=0，则csA=( )
A. 12B. 23C. 34D. 45
7.深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A. 0.3B. 0.32C. 0.68D. 0.7
8.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若FM=16FN，则E的离心率为( )
A. 4 155B. 2 155C. 5D. 2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C：x2+y2−2x+2y+λ=0，则下列结论正确的是( )
A. λ的取值范围为(−∞,1]
B. 圆C关于直线x+y=0对称
C. 若直线x+y+1=0被圆C截得的弦长为 2，则λ=2
D. 若λ=1，过点A(0,1)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=2
10.已知正实数a，b满足a+b=2，则下列不等式恒成立的为( )
A. ab≤1B. a2+b2≥2C. 1a+2b≥3D. a+ b≤2
11.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线E：x2=4y的焦点为F，准线为l，A，B为抛物线E上两个动点，且F，A，B三点不共线，抛物线E在A，B两点处的切线分别为l1，l2，l1∩l2=T，A，B在l上的射影点分别为A1，B1，则( )
A. 点F关于l1的对称点在l上B. 点T在l上
C. 点T为△FA1B1的外心D. FT⊥AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a，b的夹角150°，|a|= 3，|b|=4，则|a+b|= ______．
13.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为ξ，则E(ξ)=______．
14.对任意φ∈[0,π4]，函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间[π2,π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%．
(1)根据所给数据，完成2×2列联表；
(2)在(1)的条件下，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
在数列{an}中，已知a1=1,an=−13an+1，数列{bn}为等差数列，b1+a2=0，b4=a3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{anbn}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知点A( 2,1)是离心率为 22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，BE=BF=2，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使点A，C重合于点M．

(1)求证：平面MEF⊥平面MBD；
(2)求二面角B−DF−M的正弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex−1−x−1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)+x−lnx≥0恒成立时，求a的取值范围；
(3)证明：i=1ne1i>ln(n+1)+n．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.BD
10.ABD
11.AC
12. 7
13.2
14.(0,14]∪{−32}
15.解：(1)根据题意，补全2×2列联表如下：
(2)零假设H0：性别与满意度无关，
此时χ2=200(120×20−20×40)2160×40×60×140=20021≈9.524>7.879，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
16.(1)由a1=1,an=−13an+1，
可得数列{an}是以1为首项，−3为公比的等比数列，
可得an=(−3)n−1；
(2)由b1+a2=0，b4=a3，
可得b1=−a2=3，b4=9，
设数列{bn}的公差为d，可得3+3d=9，即有d=2，
所以bn=2n+1；
(3)Sn=3×(−3)0+5×(−3)1+7×(−3)2+⋯+(2n−1)(−3)n−2+(2n+1)(−3)n−1，
所以−3Sn=3×(−3)1+5×(−3)2+7×(−3)3+⋯+(2n−1)(−3)n−1+(2n+1)(−3)n，
两式相减得4Sn=3×(−3)0+2[(−3)1+(−3)2+⋯+(−3)n−1]−(2n+1)(−3)n，
所以4Sn=3+2×−3−(−3)n4−(2n+1)(−3)n，
所以Sn=3−(4n+3)(−3)n8．
17.解：(1)由e= 22，可得e2=1−b2a2=12，即a2=2b2①，
将点A( 2,1)代入椭圆方程可得2a2+1b2=1②，
由①②可得b2=2，a2=4，
所以椭圆方程为x24+y22=1．
(2)由题意可得B(− 2,−1)在椭圆C上，直线AP和BP的斜率分别为kAP，kBP均存在，设P(x,y)，
则kAP=y−1x− 2，kBP=y+1x+ 2，则kAP⋅kBP=y2−1x2−2①，
又因为点P在椭圆上，所以x24+y22=1，即x2=4−2y2，
代入①可得，kAP⋅kBP=y2−14−2y2−2=−12，
所以直线AP和BP的斜率之积为定值−12．
18.(1)证明：∵MD⊥MF，MD⊥ME，MF∩ME=M，MF，ME⊂平面MEF，
∴MD⊥平面MEF，又∵MD⊂平面MBD，∴平面MEF⊥平面MBD．
(2)解：设BD与EF交于点O，连接MO，在平面MDB内作MN⊥BD于点N，
在平面MDF内作MG⊥DF于点G，连结NG，

∵BE=BF=2，∴EF⊥BD，∵MD⊥面MEF，EF⊂平面MEF，∴MD⊥EF，
∵MD，BD⊂平面MBD，MD∩BD=D，∴EF⊥平面MBD，
∵MN⊂平面MBD，∴EF⊥MN，∵EF∩BD=O，EF，BD⊂平面DEF，
∴MN⊥平面DEF，又∵DF⊂平面DEF，∴MN⊥DF，
又∵DF⊥MG，MG∩MN=M，MG，MN⊂平面MNG，
∴DF⊥平面MNG，又∵NG⊂平面MNG，∴DF⊥NG，
∴∠MGN为二面角B−DF−M的平面角，
∵MD=8，MF=6，MD⊥MF，∴DF=10，∴MG=MD⋅MFDF=245，
∵MD⊥平面MEF，∴MD⊥MO，∵MO2=MF2−(EF2)2=34，∴MO= 34，
∴OD2=MD2+MO2=98，OD=7 2，
∴MN=MD⋅MOOD=8 177，∴sin∠MGN=MNMG=5 1721，
即二面角B−DF−M的正弦值为5 1721．
19.解：(1)f′(x)=aex−1−1，x∈R，
当a≤0时，易知f′(x)0时，令f′(x)=aex−1−1=0，解得x=1−lna，
令f′(x)>0，解得x>1−lna，即f(x)在(1−lna,+∞)上单调递增，
令f′(x)1时，可得1a−1lnn+1n+1=ln(n+1)−lnn+1，
∴e+e12+⋯+e1n>ln2−ln1+ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+ln(n+1)−lnn+n，
∴e+e12+⋯+e1n>ln(n+1)+n，
即i=1ne1i>ln(n+1)+n． 性别
满意度
合计
满意
不满意
男性
20
女性
40
合计
α
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
满意度
合计
满意
不满意
男性
120
20
140
女性
40
20
60
合计
160
40
200