2024-2025学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(−1,3)，B(1,2)，则AB=( )
A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (−1,2)D. (2,−1)
2.下列几何体是棱台的是( )
A. B. C. D.
3.(1−2i)2=( )
A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i
4.若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.已知正四棱锥S−ABCD的所有棱长均相等，则直线SA与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
6.2sin40°− 3sin10°=( )
A. cs10°B. cs20°C. sin40°D. sin50°
7.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，AP=λAB+13AD，当点P在△BCD内部运动时，λ的取值区间为(a,b)，则a+b=( )
A. 76B. 1712C. 32D. 1912
8.如图，AD是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧AD上，若AB=BC，则四边形BCDO周长的最大值为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三条不同的直线a，b，c和平面α，且a//b，则下列结论正确的是( )
A. 若a//c，则b//cB. 若a//α，则b//α
C. 若a与c相交，则b与c相交D. 若a与α相交，则b与α相交
10.欧拉公式exi=csx+isinx是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若z=eπ3i，则( )
A. 2z的虚部为1B. z−=e−π3i
C. |z2025|=1D. z0−z1+z2−z3+⋯−z2025=1
11.将函数f(x)=sin2x+ 3cs2x的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，若ℎ(x)=f(x)g(x)，φ(x)=f(x)g(x)，则( )
A. ℎ(x)与φ(x)的最小正周期相同
B. ℎ(x)与φ(x)的对称中心完全相同
C. f(x)与g(x)在[−π4,π4]上的值域相同
D. f(x)与g(x)的图象在[0,m]上恰有四个交点时，m的取值范围为[47π24,59π24)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a在单位向量b上的投影向量为−b，则a⋅b= ______．
13.函数f(x)=sin4(x−π12)−cs4(x−π12)，x∈[π2,π]的单调递减区间为______．
14.已知△ABC中，CA⊥CB，AB=2，若将△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的内切球半径等于23BC，则该内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义运算a⊗b=(x1y2,y1x2)，已知向量m=(1,t)，n=(−2,2)，t∈R．
(1)若m⊗n=n⊗m，求t的值；
(2)若(4m−n)⊥n，求m⊗n与m夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]这6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数(四舍五入取整数)；
(2)从所抽取的数学成绩在[110,130)，[130,150]内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在[130,150]内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在[110,130)内的学生数学成绩的平均数与方差．
17.(本小题15分)
如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
(1)证明：BC//平面ADE；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧AB的中点时，求直线AE与平面ACD所成角的正切值．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cs2C−cs2A)=(a−b)sin2B.
(1)求角C；
(2)若△ABC的边c上的高等于sinC．
(i)当c=2时，求csAcsB的值；
(ii)求△ABC面积的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A=AB=BC=2，D为AC的中点，平面A1BD⊥平面ABC．
(1)求证：△A1BC1是直角三角形；
(2)E为B1C1的中点，F为CE与BC1的交点，点M在线段A1B上，DM⊥BD，若MF//平面ABC．
(i)求侧面ACC1A1与底面ABC所成二面角的正弦值；
(ii)若点C1到平面ABB1A1的距离为2 105，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：B(1,2)，A(−1,3)，则AB=(2,−1)．
故选：D．
根据给定条件，利用坐标表示向量即可．
本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：选项A和C都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，所以选项A和C都不满足题意；
选项B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，所以选项B不满足题意．
故选：D．
根据棱台的定义和结构特征，抓住关键两点：棱台由棱锥截成；棱台的上下两个面互相平行．
本题考查棱台的定义和结构特征，考查学生的空间立体感，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：原式=(1+2i)2=1+4i2+4i=1−4+4i=−3+4i．
故选：B．
根据复数代数形式的运算法则进行计算．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可知，众数是2，
所以极差为4，
又因为5−1=4，
所以只有当1≤x≤5，即x=1，2，3，4，5时均满足题意，共5个．
故选：D．
确定出众数，再由已知数据中最大值与最小值的差是众数的2倍，从而得出x的范围及结论．
本题主要考查了众数和极差的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图：
因为四棱锥S−ABCD是正四棱锥，且所有棱长均相等．
所以∠SAB=60°，故C可能成立；
在△SAC中，AC= 2SA= 2SC，所以∠ASC=90°，∠SAC=45°，所以B、D可能成立；
SA与其余的棱或对角线都不能成30°，故A不可能成立．
故选：A．
确定直线SA与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可．
本题主要考查异面直线所成角，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得2sin40°=2sin(30°+10°)=2(sin30°cs10°+cs30°sin10°)
=2(12cs10°+ 32sin10°)=cs10°+ 3sin10°，
所以2sin40°− 3sin10°=(cs10°+ 3sin10°)− 3sin10°=cs10°．
故选：A．
根据题意，将40°写成30°+10°，利用两角和的正弦公式化简，即可得到本题的答案．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，AP=λAB+13AD，
取AE=13AD，过E作EF/​/AB，交BD于点G，交BC于点F．
设AG=λ1AB+13AD，因为B，G，D三点共线，
所以λ1+13=1⇒λ1=23．
设AF=λ2AB+13AD，因为AC=12AB+AD，
所以CF=AF−AC=(λ2−12)AB−23AD，CB=AB−AC=12AB−AD．
因为B，F，C共线，所以CB//CF，所以(λ2−12)⋅(−1)−(−23)×12=0⇒λ2=56．
因为AP=λAB+13AD且点P在△BCD内运动，所以点P在线段GF上，所以23