广西南宁市马山县六校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版）

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1.满分150分，考试时间120分钟．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章第八章8.5.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，
，.
故选D.
2. 若复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，.
故选：A
3. 已知向量．若与平行，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由，得，
而，与平行，
因此，解得，
所以实数的值为.
故选：D
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
【答案】B
【解析】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；
对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误；
故选：B.
5. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题知，，即，，即，
，因为，所以，所以
故选：C
6. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的周长为
D. 四边形的面积为
【答案】D
【解析】如图可知，四边形的周长为，四边形的面积为.
故选:D.
7. 如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 10D. 12
【答案】C
【解析】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，设，
所以，则，
因为，所以，即的最大值为10.
故答案为：C
8. 某工业园区有共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，，
则，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中，
（其中），
所以当时，所以最小值为．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则与是异面直线
B. 若与异面，与异面，则与异面
C. 若不同在平面内，则与异面
D. 若不同在任何一个平面内，则与异面
【答案】ABC
【解析】对于A：若，则与是异面直线或相交直线或，故A错误；
对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与可能是异面直线或或相交，故B错误；
对于C：若不同在平面内，则与是异面直线或相交直线或，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若不同在任何一个平面内，则与是异面直线，
故D正确．
故选：ABC．
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图像关于直线对称
B. 函数的图像关于点对称
C. 将的图像向右平移个单位，得到函数的图像
D. 若，则是的整数倍
【答案】AD
【解析】，
由，，得，即，，
当时，，即函数的图像关于直线对称，A正确，
当时，，此时，即函数的图像不关于点对称，故错误，
将的图像向右平移个单位，得到，故得不到的图像，故错误，
，得，即，则，
则，得，则，，即是的整数倍，故正确，
故选：．
11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（ ）
A. 当时，为四边形
B. 当时，为等腰梯形
C. 当时，与的交点，满足
D. 当时，为四边形
【答案】ABC
【解析】对于A，可作图如下：
平面平面，平面平面，
在正方体中，平面平面，则，
易知，则，由为的中点，则，即，
由，则，所以为四边形，故A正确；
对于B，由题意作图如下：
由A可知，由，则，即点与重合，
在正方体中，，，，所以，则，由A可知，则为等腰梯形，故B正确；
对于C，由题意作图如下：
在正方体中，易知，则，
由，，，则，即，易知，
则，即，解得，故C正确；
对于D，由题意作图如下：
在正方体中，易知，则，
由，，则，由，则，
所以位于的延长线上，则，，
即为五边形，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数，则实数的值为______.
【答案】2
【解析】因为复数，
且只能是实数才能比较大小，所以为实数，
得到，解得，即实数的值为.
故答案为：2
13. 设的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】由及正弦定理，
得
所以或，
故是等腰三角形或直角三角形．
故答案：等腰三角形或直角三角形
14. 现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球（盒子的盖子能封上），那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为____________.
【答案】
【解析】由题意可知：圆柱盒子内高的范围为，
圆柱盒子的体积，
一个小球的体积，
.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知复数，其中，i为虚数单位．
（1）当为何值时，为纯虚数；
（2）若复数在复平面内对应的点位于直线的上方，求的取值范围．
解：（1），
由，解得，故当时，为纯虚数.
（2）由题可得：，
∴，即，
∴的取值范围为．
16. 已知平面向量．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
解：（1）由，得，
由，设，
由，得，解得，
所以的坐标是或.
（2）依题意，，由与的夹角为锐角，
得，且与不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围是.
17. 已知函数是上的奇函数.
（1）求的值；
（2）比较与0的大小，并说明理由.
解：（1）因为是上的奇函数，
所以，得
时，，
满足为奇函数，所以.
（2）设，则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数，
所以函数在上为增函数，
因为，
即，所以，
因为是上的奇函数，所以，
所以
18. 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面的交线为，求证：.
解：（1）取的中点，连接，，
是四棱柱，平行且等于，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
（2）平行且等于，平行且等于，
平行且等于，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
由（1）得平面且，、平面，
平面平面；
（3）由（2）得，平面，平面，
则平面，
又平面，平面平面，
．
19. 在中，设角的对边长分别为，已知．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
解：（1）∵，
∴由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，∵，∴；
（2），∴，即，又∵，
∴由正弦定理得，
∴，
∵为锐角三角形，∴，解得，
从而，∴．