高考数学精品讲义练习【一轮复习】第七章　7．7　向量法求空间角和距离

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第七章　7．7　向量法求空间角和距离，共19页。
1．能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题．
2．会求空间中点到直线以及点到平面的距离．
用空间向量研究距离、夹角问题
教材拓展
1．确定平面的法向量的方法
(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有可直接确定．
(2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0))求得．
2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
3．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，此夹角的补角才是异面直线所成的角．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )
(2)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．( × )
(4)两异面直线夹角的范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( √ )
2．（人教A版选择性必修第一册P38T1改编）在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( C )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(5),6)
C． eq \f(\r(5),5) D． eq \f(\r(2),2)
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0， eq \r(3)），A(1，0，0)，D(0，0，0)，B1（1，1， eq \r(3)），所以 eq \(AD1,\s\up6(→))＝（－1，0， eq \r(3)）， eq \(DB1,\s\up6(→))＝（1，1， eq \r(3)）.设异面直线AD1与DB1所成的角为θ，则cs θ＝
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AD1,\s\up6(→))·\(DB1,\s\up6(→)),|\(AD1,\s\up6(→))|·|\(DB1,\s\up6(→))|)))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,2×\r(5))))＝ eq \f(\r(5),5).所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 eq \f(\r(5),5).故选C.
3．（人教A版选择性必修第一册P43T10改编）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量是v＝(－2，2，1)，平面α的一个法向量是n＝(2，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为 eq \f(\r(5),5)．
解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cs 〈v，n〉|＝ eq \f(|v·n|,|v|·|n|)＝
eq \f(|－2×2＋2×0＋1×1|,\r((－2)2＋22＋12)×\r(22＋02＋12))＝ eq \f(\r(5),5).
4．（人教A版选择性必修第一册P35T3改编）已知平面α经过点B(1，0，0)，且α的法向量n＝(1，1，1)，则点P(2，2，0)到平面α的距离为 eq \r(3)．
解析：因为 eq \(BP,\s\up6(→))＝(1，2，0)，n＝(1，1，1)，所以点P(2，2，0)到平面α的距离d＝ eq \f(|n·\(BP,\s\up6(→))|,|n|)＝ eq \f(|1＋2|,\r(1＋1＋1))＝ eq \r(3).
考点1 异面直线所成的角
【例1】 （2024·湖北武汉模拟）在正四面体PABC中，E，F分别为PC，AB的中点，则异面直线BE与PF所成角的正切值为( D )
A． eq \f(4,3) B． eq \f(3,4)
C．2 eq \r(2) D． eq \f(\r(5),2)
【解析】 设正四面体PABC的棱长为1，设 eq \(PA,\s\up6(→))＝a， eq \(PB,\s\up6(→))＝b， eq \(PC,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝60°，∴a·b＝|a||b|cs ∠BPA＝ eq \f(1,2)，b·c＝|b||c|·cs ∠BPC＝ eq \f(1,2)，c·a＝|c||a|cs ∠APC＝ eq \f(1,2).∵E，F分别为PC，AB的中点，△PAB，△PBC是等边三角形，∴ eq \(PF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(a＋b)， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(PE,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)c－b，| eq \(PF,\s\up6(→))|＝| eq \(BE,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)，cs 〈 eq \(PF,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(PF,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→)),|\(PF,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\f(1,2)(a＋b)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－b)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\f(1,4)a·c＋\f(1,4)b·c－\f(1,2)a·b－\f(1,2)|b|2,\f(3,4))＝－ eq \f(2,3).设异面直线BE与PF所成的角为θ，则cs θ＝|cs 〈 eq \(PF,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(2,3)，则sin θ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(5),3)，∴tan θ＝ eq \f(\f(\r(5),3),\f(2,3))＝ eq \f(\r(5),2)，
∴异面直线BE与PF所成角的正切值为 eq \f(\r(5),2).故选D.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系．
(2)求出两直线的方向向量v1，v2.
(3)代入公式|cs 〈v1，v2〉|＝ eq \f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．
【对点训练1】 （2024·辽宁丹东一模）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则异面直线BA1与AC1所成角的余弦值为( A )
A． eq \f(3,4) B． eq \f(\r(13),4)
C． eq \f(\r(3),4) D． eq \f(\r(7),4)
解析：取BC的中点D，连接AD，因为AB＝AC，所以DA⊥DC，以D为原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且垂直于平面BAC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设AB＝AC＝AA1＝1，因为∠BAC＝120°，所以BD＝DC＝ eq \f(\r(3),2)，AD＝ eq \f(1,2)，所以
B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(3),2)，0))，A1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1))，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))， C1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，1))，所以 eq \(BA1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，1))， eq \(AC1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，1))，所以异面直线BA1与AC1所成角的余弦值为|cs 〈 eq \(BA1,\s\up6(→))， eq \(AC1,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|\(BA1,\s\up6(→))·\(AC1,\s\up6(→))|,|\(BA1,\s\up6(→))|·|\(AC1,\s\up6(→))|)＝ eq \f(－\f(1,4)＋\f(3,4)＋1,\r(\f(1,4)＋\f(3,4)＋1)×\r(\f(1,4)＋\f(3,4)＋1))＝ eq \f(3,4).故选A.
考点2 直线与平面所成的角
【例2】 （2024·山东青岛二模）如图，在四棱锥P­ABCD中，△PAD是等边三角形，且BC∥AD，AB⊥AD，PB＝AB＝AD＝2BC，E为PD的中点．
(1)求证：CE∥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：如图1，取PA的中点G，连接GE，GB.∵E为PD的中点，∴GE∥AD且GE＝ eq \f(1,2)AD，又BC∥AD，BC＝ eq \f(1,2)AD，
∴GE∥BC且GE＝BC，
∴四边形BCEG为平行四边形，∴CE∥GB.
又GB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
∴CE∥平面PAB.
(2)设PB＝AB＝AD＝2BC＝2.
如图2，取AD的中点N，连接PN，CN.
∵△PAD为正三角形，
∴PN⊥AD，PN＝ eq \r(3).
又AN＝BC，AN∥BC，
∴四边形ABCN为平行四边形，
∴CN∥AB.又AB⊥AD，
∴CN⊥AD，又PN∩CN＝N，PN，CN⊂平面PCN，∴AD⊥平面PCN.
∵BC∥AD，∴BC⊥平面PCN，
又PC⊂平面PCN，∴BC⊥PC.
在Rt△PBC中，PC＝ eq \r(PB2－BC2)＝ eq \r(3)＝PN.
∵BC⊂平面ABCD，∴平面PCN⊥平面ABCD，取CN的中点O，则PO⊥CN，
∴PO⊥平面ABCD，
PO＝ eq \r((\r(3))2－12)＝ eq \r(2).
取CD的中点F，以O为原点，OC，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，－1，0)，P（0，0， eq \r(2)），D(－1，1，0)，C(1，0，0)，
∴ eq \(PB,\s\up6(→))＝（1，－1，－ eq \r(2)）， eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，1，0)， eq \(CP,\s\up6(→))＝（－1，0， eq \r(2)）.
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(CP,\s\up6(→))·n＝－x＋\r(2)z＝0，,\(CD,\s\up6(→))·n＝－2x＋y＝0，))
令z＝1，则n＝（ eq \r(2)，2 eq \r(2)，1）.
设PB与平面PCD所成的角为θ，则sin θ＝|cs 〈 eq \(PB,\s\up6(→))，n〉|＝ eq \f(|\(PB,\s\up6(→))·n|,|\(PB,\s\up6(→))|·|n|)＝ eq \f(2\r(2),2×\r(11))＝ eq \f(\r(22),11)，
故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 eq \f(\r(22),11).
向量法求直线与平面所成角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）问题．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
【对点训练2】 （2024·山东聊城二模）如图，在几何体ABCC1B1A1中，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，AA1∥BB1，AA1＝3，点E在线段A1C1上，且EC1＝2A1E.
(1)求证：B1E∥平面ABC1；
(2)若AB⊥平面BCC1B1，且AB＝2，求直线A1C1与平面AB1E所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，在线段AA1上取点M，使A1M＝ eq \f(1,3)A1A，连接B1M，ME，则MA＝2A1M.
又因为EC1＝2A1E，所以ME∥AC1.
因为ME⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以ME∥平面ABC1.
由A1A＝3，得MA＝2，又B1B＝2，且AA1∥BB1，所以四边形ABB1M为平行四边形，所以B1M∥AB.
因为B1M⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，所以B1M∥平面ABC1.
又B1M∩ME＝M，B1M⊂平面B1ME，ME⊂平面B1ME，
所以平面B1ME∥平面ABC1.
又因为B1E⊂平面B1ME，所以B1E∥平面ABC1.
(2)因为AB⊥平面BCC1B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BB1，AB⊥BC，
又四边形BCC1B1是正方形，所以BB1⊥BC，
所以BC，BA，BB1两两互相垂直．
所以以B为原点，以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB＝BC＝2，AA1＝3，得A(0，2，0)，A1(0，2，3)，B1(0，0，2)，C1(2，0，2)，
于是 eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)， eq \(AB1,\s\up6(→))＝(0，－2，2)， eq \(B1A1,\s\up6(→))＝(0，2，1)， eq \(B1E,\s\up6(→))＝ eq \(B1A1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(A1C1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,3)，\f(2,3))).
设平面AB1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\(B1E,\s\up6(→))＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2y＋2z＝0，,\f(2,3)x＋\f(4,3)y＋\f(2,3)z＝0，))
即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,x＋2y＋z＝0，))
令y＝1，得z＝1，x＝－3，所以平面AB1E的一个法向量n＝(－3，1，1).
设直线A1C1与平面AB1E所成的角为θ，则sin θ＝|cs 〈n， eq \(A1C1,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|n·\(A1C1,\s\up6(→))|,|n|·|\(A1C1,\s\up6(→))|)＝ eq \f(9,\r(9＋1＋1)×\r(4＋4＋1))＝ eq \f(3\r(11),11)，
所以直线A1C1与平面AB1E所成角的正弦值为 eq \f(3\r(11),11).
考点3 平面与平面的夹角
【例3】 （2024·新课标Ⅰ卷改编）如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ eq \r(3).
(1)若AD⊥PB，求证：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且平面ACP与平面CPD夹角的正弦值为 eq \f(\r(42),7)，求AD.
【解】 (1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD.又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.
在△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
所以AB⊥BC，
因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC.
又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)以D为原点，以DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
令AD＝t(0