高考数学精品讲义练习【一轮复习】第七章　7．6　空间向量与立体几何

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第七章　7．6　空间向量与立体几何，共17页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
1．空间向量及其有关概念
2.空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝ eq \r(a·a)＝ eq \r(a eq \\al(2,1)＋a eq \\al(2,2)＋a eq \\al(2,3))；当a≠0，b≠0时，cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a eq \\al(2,1)＋a eq \\al(2,2)＋a eq \\al(2,3))\r(b eq \\al(2,1)＋b eq \\al(2,2)＋b eq \\al(2,3)))．
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 eq \(P1P2,\s\up6(→))＝
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，| eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2)．
3．用空间向量研究直线、平面的位置关系
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝0.( √ )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
2．(人教A版选择性必修第一册P12T3改编)如图，在四面体PABC中，E是AC的中点， eq \(BF,\s\up6(→))＝3 eq \(FP,\s\up6(→))，设 eq \(PA,\s\up6(→))＝a， eq \(PB,\s\up6(→))＝b， eq \(PC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(FE,\s\up6(→))＝( B )
A． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,2)c B． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,4)b＋ eq \f(1,2)c
C． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,4)b＋ eq \f(1,3)c D． eq \f(2,3)a－ eq \f(1,4)b＋ eq \f(2,3)c
解析： eq \(FE,\s\up6(→))＝ eq \(PE,\s\up6(→))－ eq \(PF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→)))－ eq \f(1,4) eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,4)b＋ eq \f(1,2)c.故选B.
3．(人教A版选择性必修第一册P12T1改编)已知空间向量a＝(1，0，3)，b＝(2，1，0)，c＝(5，2，z)，若a，b，c共面，则实数z的值为( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为a，b，c共面，所以存在实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb，即(5，2，z)＝x(1，0，3)＋y(2，1，0)＝(x＋2y，y，3x)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝5，,y＝2，,3x＝z，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝3.))故选D.
4．(人教B版选择性必修第一册P39例1改编)若直线l的方向向量a＝(1，0，1)，平面β的法向量n＝(1，1，－1)，则( D )
A．l⊂β B．l⊥β
C．l∥β D．l⊂β或l∥β
解析：因为a·n＝1－1＝0，所以a⊥n，所以l⊂β或l∥β.故选D.
考点1 空间向量的线性运算及共线、共面定理
【例1】 (1)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若 eq \(PA,\s\up6(→))＝a， eq \(PB,\s\up6(→))＝b， eq \(PC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(BE,\s\up6(→))＝( C )
A． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
B． eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b－ eq \f(1,2)c
C． eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＋ eq \f(1,2)c
D． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(3,2)c
【解析】 eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(PE,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(PD,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)))－ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \f(3,2) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＋ eq \f(1,2)c.故选C.
(2)(多选)下列选项中正确的是( AC )
A．若存在实数x，y，使 eq \(MP,\s\up6(→))＝x eq \(MA,\s\up6(→))＋y eq \(MB,\s\up6(→))，则点P，M，A，B共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y，使p＝xa＋yb
C．若向量a，b所在的直线是异面直线，则向量a，b一定不共线
D．若a，b，c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc
【解析】 由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使 eq \(MP,\s\up6(→))＝x eq \(MA,\s\up6(→))＋y eq \(MB,\s\up6(→))，则点P，M，A，B共面，故A正确；若a，b共线，p不与a，b共线，则不存在实数x，y，使p＝xa＋yb，故B错误；若向量a，b所在的直线是异面直线，则a，b的方向不相同也不相反，所以向量a，b一定不共线，故C正确；若a，b，c是空间三个基底向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故D错误．故选AC.
1．用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在空间中，向量加法的三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
2．应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
【对点训练1】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2， eq \(BC,\s\up6(→))＝e1＋3e2， eq \(DC,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为( A )
A．－8 B．－4
C．－2 D．8
解析：因为A，B，D三点共线，所以∃λ∈R，使得 eq \(AB,\s\up6(→))＝λ eq \(AD,\s\up6(→))，又 eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2， eq \(BC,\s\up6(→))＝e1＋3e2， eq \(DC,\s\up6(→))＝2e1－e2，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝(2e1＋ke2)＋(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝e1＋(k＋4)e2，则2e1＋ke2＝λ[e1＋(k＋4)e2]，则λ＝2，λ(k＋4)＝k，解得k＝－8.故选A.
(2)(多选)如图，平面ABC内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，P为平面ABC外一点，则( ABD )
A． eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \(PC,\s\up6(→))
B． eq \(CD,\s\up6(→))＝－ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \f(4,5) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,5) eq \(PC,\s\up6(→))
C． eq \(PF,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \f(3,5) eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \f(2,5) eq \(PC,\s\up6(→))
D． eq \(PD,\s\up6(→))＝－ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \f(4,5) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(6,5) eq \(PC,\s\up6(→))
解析：在平面ABC内选取两个互相垂直的单位向量i，j，且 eq \(AC,\s\up6(→))＝2i＋j，则 eq \(PC,\s\up6(→))－ eq \(PA,\s\up6(→))＝2i＋j， eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \(PA,\s\up6(→))＝－3i＋j， eq \(PC,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))＝5i，则i＝－ eq \f(1,5) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,5) eq \(PC,\s\up6(→))，j＝－ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,5) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,5) eq \(PC,\s\up6(→))，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝－2i－j＝ eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \(PC,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))＝－2i＋j＝－ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \f(4,5) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,5) eq \(PC,\s\up6(→))， eq \(PF,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))＋i－j＝2 eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \f(3,5) eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \f(2,5) eq \(PC,\s\up6(→))， eq \(PD,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))＋2j＝－ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \f(4,5) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(6,5) eq \(PC,\s\up6(→)).故选ABD.
考点2 空间向量的数量积及其应用
【例2】 (1)如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝4，∠BCC1＝∠ACC1＝ eq \f(π,3)，∠ACB＝ eq \f(π,4)，则 eq \(CA1,\s\up6(→))·( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＝( C )
A．48 B．32
C．32＋8 eq \r(2) D．32－8 eq \r(2)
【解析】 eq \(CA1,\s\up6(→))·( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＝( eq \(CC1,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))·( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \(CC1,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CC1,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))2＝4×4×cs eq \f(π,3)＋4×4×cs eq \f(π,3)＋4×4×cs eq \f(π,4)＋42＝8＋8＋8 eq \r(2)＋16＝32＋8 eq \r(2).故选C.
(2)在四面体ABCD中，BC⊥BD，∠ABC＝∠ABD＝ eq \f(π,3)，BA＝BD＝2，BC＝3，则AD与BC所成角的余弦值为( A )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),3)
C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(6),3)
【解析】 如图，由题知， eq \(DA,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BD,\s\up6(→))，令θ为 eq \(DA,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))的夹角，
则cs θ＝ eq \f(\(DA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(DA,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|)＝ eq \f((\(BA,\s\up6(→))－\(BD,\s\up6(→)))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))－\(BD,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))－\(BD,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),\r(|\(BA,\s\up6(→))|2＋|\(BD,\s\up6(→))|2－2|\(BA,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|cs \f(π,3))·|\(BC,\s\up6(→))|)＝
eq \f(|\(BA,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|cs \f(π,3)－|\(BD,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|cs \f(π,2),\r(|\(BA,\s\up6(→))|2＋|\(BD,\s\up6(→))|2－2|\(BA,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|cs \f(π,3))·|\(BC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(2×3×\f(1,2),\r(4＋4－2×2×2×\f(1,2))×3)＝ eq \f(1,2).故选A.
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
【对点训练2】 (1)向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2，3)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，1，2)， eq \(OP,\s\up6(→))＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则 eq \(QA,\s\up6(→))· eq \(QB,\s\up6(→))的最小值为( B )
A． eq \f(2,3) B．－ eq \f(2,3)
C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3)
解析：∵ eq \(OP,\s\up6(→))＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，∴可设 eq \(OQ,\s\up6(→))＝λ eq \(OP,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ).又向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2，3)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，1，2)，∴ eq \(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， eq \(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则 eq \(QA,\s\up6(→))· eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)×(2－λ)＋(2－λ)×(1－λ)＋(3－2λ)×(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，易得当λ＝ eq \f(4,3)时， eq \(QA,\s\up6(→))· eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值－ eq \f(2,3).故选B.
(2)如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中， M为A1C1与B1D1的交点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则BM的长为( C )
A． eq \f(\r(5),4) B． eq \f(\r(3),4)
C． eq \f(\r(5),2) D． eq \f(\r(3),2)
解析：依题意 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(BB1,\s\up6(→))＋ eq \(B1M,\s\up6(→))＝ eq \(BB1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(B1D1,\s\up6(→))＝ eq \(BB1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(A1D1,\s\up6(→))－ eq \(A1B1,\s\up6(→)))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(BM,\s\up6(→))2＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))2＝ eq \(AA1,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AA1,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AA1,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝12＋ eq \f(1,4)×12＋ eq \f(1,4)×12＋1×1× eq \f(1,2)－1×1× eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)×1×1× eq \f(1,2)＝ eq \f(5,4)，所以| eq \(BM,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(5),2)，即BM＝ eq \f(\r(5),2).故选C.
考点3 利用向量法解决平行、垂直问题
【例3】 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：
(1)平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)平面EGF∥平面ABD.
【证明】 (1)易得BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，C1(0，2，4).
设BA＝a，则A(a，0，0)，A1(a，0，4)，G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，4)).
因为 eq \(BA,\s\up6(→))＝(a，0，0)， eq \(BD,\s\up6(→))＝(0，2，2)， eq \(B1D,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，所以 eq \(B1D,\s\up6(→))· eq \(BA,\s\up6(→))＝0， eq \(B1D,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))＝0，
所以 eq \(B1D,\s\up6(→))⊥ eq \(BA,\s\up6(→))， eq \(B1D,\s\up6(→))⊥ eq \(BD,\s\up6(→))，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)因为 eq \(EG,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，1))， eq \(EF,\s\up6(→))＝(0，1，1)， eq \(B1D,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，所以 eq \(B1D,\s\up6(→))· eq \(EG,\s\up6(→))＝0， eq \(B1D,\s\up6(→))· eq \(EF,\s\up6(→))＝0，
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.
1．利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
2．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
【对点训练3】 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：
(1)BM∥平面ADEF；
(2)BC⊥平面BDE.
证明：(1)根据题意可知平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，
所以ED⊥平面ABCD，从而可得 eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(DE,\s\up6(→))两两垂直．
以D为原点， eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(DE,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)，
又M为CE的中点，所以M(0，2，1)，则 eq \(BM,\s\up6(→))＝(－2，0，1)， eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2，0，0)， eq \(AF,\s\up6(→))＝(0，0，2)，
所以 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AF,\s\up6(→))，故 eq \(BM,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))共面．
又BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.
(2) eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)， eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)， eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，0，2)，易知 eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(DB,\s\up6(→))＝－4＋4＝0，所以BC⊥DB.又 eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(DE,\s\up6(→))＝0，可得BC⊥DE.
又DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE.
【例】 (多选)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
(1)过点P0(x0，y0，z0)且以u＝(a，b，c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为 eq \f(x－x0,a)＝ eq \f(y－y0,b)＝ eq \f(z－z0,c)；
(2)过点P(x0，y0，z0)且以v＝(m，n，t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0.
现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝1，,3y－2z＝1，))l2：x＝y＝2－z，l3： eq \f(x－1,5)＝ eq \f(y,－4)＝ eq \f(z,1)，则( CD )
A．l1∥α B．l2∥α
C．l3∥α D．l1⊥α
【解析】 平面α：x＋2y＋3z＝6，即x－1＋2(y－1)＋3(z－1)＝0，则平面α的法向量为v＝(1，2，3).对于l1： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝1，,3y－2z＝1，))则6x－3＝3y＝2z＋1，即 eq \f(x－\f(1,2),\f(1,6))＝ eq \f(y,\f(1,3))＝ eq \f(z＋\f(1,2),\f(1,2))，所以l1过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))，方向向量为u1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,3)，\f(1,2)))，所以v＝6u1，所以v∥u1，所以l1⊥α，故A错误，D正确；对于l2：x＝y＝2－z，即 eq \f(x,1)＝ eq \f(y,1)＝ eq \f(z－2,－1)，所以l2过点(0，0，2)，方向向量为u2＝(1，1，－1)，点(0，0，2)适合平面α的方程x＋2y＋3z＝6，所以l2与平面α有公共点，故B错误；对于l3： eq \f(x－1,5)＝ eq \f(y,－4)＝ eq \f(z,1)，所以l3过点(1，0，0)，方向向量u3＝(5，－4，1)，因为v·u3＝(1，2，3)·(5，－4，1)＝5－8＋3＝0，所以v⊥u3，所以l3⊂α或l3∥α，但点(1，0，0)不适合平面α的方程x＋2y＋3z＝6，故l3⊄α，所以l3∥α，故C正确．故选CD.
本题属于新定义理解问题，解题过程中需将直线方程表示为给出的公式形式，从而找到直线经过的定点和方向向量，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决新定义问题的能力，体现新高考的趋势和变化．
课时作业50
1．（5分）已知a＝(2，2，1)，b＝(－1，－1，k)，且a⊥2b，则k的值为( D )
A．5 B．－5
C．3 D．4
解析：由题意可得2b＝(－2，－2，2k)，则a·2b＝－4－4＋2k＝0，解得k＝4.故选D.
2．（5分）已知点A(a，－3，5)，B(0，b，2)，C(2，7，－1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是( D )
A．－2，3 B．－1，2
C．1，3 D．－2，2
解析：因为A(a，－3，5)，B(0，b，2)，C(2，7，－1)，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－a，b＋3，－3)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，7－b，－3)，因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使 eq \(AB,\s\up6(→))＝k eq \(BC,\s\up6(→))，所以(－a，b＋3，－3)＝k(2，7－b，－3)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＝2k，,b＋3＝k(7－b)，,－3＝－3k，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,a＝－2，,b＝2.))故选D.
3．（5分）若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则a，b的夹角的余弦值为( C )
A． eq \f(\r(7),3) B． eq \f(\r(21),21)
C．－ eq \f(5\r(21),42) D．－ eq \f(\r(21),21)
解析：向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则a·b＝1×2－1×1－2×3＝－5，|a|＝ eq \r(12＋(－1)2＋22)＝ eq \r(6)，|b|＝ eq \r(22＋12＋(－3)2)＝ eq \r(14)，所以a，b的夹角的余弦值为cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－5,\r(6)×\r(14))＝－ eq \f(5\r(21),42).故选C.
4．（5分）在正三棱锥P­ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则 eq \(PO,\s\up6(→))·（ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))）＝( D )
A． eq \f(10,9) B． eq \f(2\r(6),3)
C． eq \f(8\r(2),3) D． eq \f(16,3)
解析：如图，在正三棱锥P­ABC中，O为正三角形ABC的中心，PA＝AB＝2，OA＝OB＝ eq \f(2,3)× eq \f(\r(3),2)AB＝ eq \f(2,\r(3))，则PO⊥平面ABC，而OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，且PO2＝22－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(3)))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(8,3)，所以 eq \(PO,\s\up6(→))·（ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))）＝ eq \(PO,\s\up6(→))·（ eq \(PO,\s\up6(→))＋ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(PO,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))）＝2 eq \(PO,\s\up6(→))2＝2× eq \f(8,3)＝ eq \f(16,3).故选D.
5．（5分）如图，三棱柱ABC­DEF中，G为棱AD的中点，若 eq \(BA,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b， eq \(BD,\s\up6(→))＝c，则 eq \(CG,\s\up6(→))＝( A )
A． eq \f(1,2)a－b＋ eq \f(1,2)c
B． eq \f(1,2)a＋b＋ eq \f(1,2)c
C． eq \f(3,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
D． eq \f(3,2)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
解析： eq \(BA,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b， eq \(BD,\s\up6(→))＝c，则 eq \(CG,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DG,\s\up6(→))＝－b＋c＋ eq \f(1,2) eq \(DA,\s\up6(→))＝－b＋c＋ eq \f(1,2)（ eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))）＝－b＋c＋ eq \f(1,2)(－c＋a)＝ eq \f(1,2)a－b＋ eq \f(1,2)c.故选A.
6．（5分）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN( D )
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条
C．有且仅有3条 D．有无数条
解析：以D为原点， eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，M(0，0，a)(0≤a≤1)，N(x，1，1－x)(0≤x≤1)，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，所以 eq \(MN,\s\up6(→))＝(x，1，1－x－a)， eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，若AD1⊥MN，则 eq \(MN,\s\up6(→))· eq \(AD1,\s\up6(→))＝－x＋1－x－a＝0，即2x＝1－a(0≤x≤1，0≤a≤1)，方程有无数组解．故选D.
7．（5分）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，G，E，F分别是棱A1B1，CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点（不包括端点）.若GD⊥EF，则线段AD的长为( A )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(3,4) D． eq \f(1,3)
解析：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，以A为原点， eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AA1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，设D(x，0，0)(0