高考数学精品讲义练习【一轮复习】第一章　1．4　基本不等式

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第一章　1．4　基本不等式，共11页。试卷主要包含了“四个平均数”，利用基本不等式求最值，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．掌握基本不等式 eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)(a，b>0)及其推导过程．
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
1．基本不等式 eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
(2) eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2（a，b同号）.
(3)ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)(a，b∈R).
(4) eq \f(a2＋b2,2)≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．“四个平均数”
给定两个正数a，b，数 eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数；数 eq \r(ab)称为a，b的几何平均数； eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))和 eq \r(\f(a2＋b2,2))分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．“四个平均数”可构成不等式链： eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤ eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)).
4．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2 eq \r(P)（简记：积定和最小）.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是 eq \f(S2,4)（简记：和定积最大）.
教材拓展
1．ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)≤ eq \f(a2＋b2,2).要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式．
2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)不等式ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)与 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)成立的条件是相同的．( × )
(2)函数y＝x＋ eq \f(1,x)的最小值是2.( × )
(3)函数y＝sin x＋ eq \f(4,sin x)，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值是4.( × )
(4)“x＞0且y＞0”是“ eq \f(y,x)＋ eq \f(x,y)≥2”的充要条件．( × )
2．（人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编）已知x>1，则x＋ eq \f(1,x－1)的最小值为3．
解析：x＋ eq \f(1,x－1)＝x－1＋ eq \f(1,x－1)＋1≥2 eq \r((x－1)·\f(1,x－1))＋1＝3，当且仅当x－1＝ eq \f(1,x－1)，即x＝2时等号成立．
3．（人教A版必修第一册P58T5改编）若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为9．
解析：由ab＝a＋b＋3≥2 eq \r(ab)＋3，得ab－2 eq \r(ab)－3≥0，解得 eq \r(ab)≥3（ eq \r(ab)≤－1舍去），即ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号．
4．（人教A版必修第一册P46例3(1)改编）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形两邻边的长分别为10 m，10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是40 m.
解析：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，由已知得xy＝100，篱笆的长度为2(x＋y) m．由 eq \f(x＋y,2)≥ eq \r(xy)，可得x＋y≥2 eq \r(xy)＝20，所以2(x＋y)≥40，当且仅当x＝y＝10时等号成立．因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m．
考点1 利用基本不等式求最值
命题角度1 配凑法
【例1】 (1)已知x0，y>0，所以x＋ eq \f(1,y)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,y))) eq \f(1,2x)＋y＝ eq \f(1,2)＋xy＋ eq \f(1,2xy)＋1＝ eq \f(3,2)＋xy＋ eq \f(1,2xy)≥ eq \f(3,2)＋2 eq \r(xy·\f(1,2xy))＝ eq \f(3,2)＋2× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(3,2)＋ eq \r(2).当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝\f(1,2xy)，,\f(1,2x)＋y＝1，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1＋\r(2),2)，,y＝2－\r(2)))时取等号．故选C.
命题角度3 消元法
【例3】 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为6．
【解析】 方法一（换元消元法） 由已知得9－(x＋3y)＝xy＝ eq \f(1,3)·x·3y≤ eq \f(1,3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2))) eq \s\up12(2)，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二（代入消元法） 由x＋3y＋xy＝9，得x＝ eq \f(9－3y,1＋y)，所以x＋3y＝ eq \f(9－3y,1＋y)＋3y＝ eq \f(9－3y＋3y(1＋y),1＋y)＝ eq \f(9＋3y2,1＋y)＝ eq \f(3(1＋y)2－6(1＋y)＋12,1＋y)＝3(1＋y)＋ eq \f(12,1＋y)－6≥2 eq \r(3(1＋y)·\f(12,1＋y))－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝ eq \f(12,1＋y)，即y＝1，x＝3时取等号，即x＋3y的最小值为6.
1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．
2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t（t为常数），求 eq \f(a,x)＋ eq \f(b,y)的最值”的问题，先将 eq \f(a,x)＋ eq \f(b,y)转化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))· eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值．
3．当要求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值．
【对点训练1】 (1)已知a>b，且ab＝8，则 eq \f(a2＋b2,a－b)－2的最小值是( A )
A．6 B．8
C．14 D．16
解析：因为ab＝8，所以 eq \f(a2＋b2,a－b)＝ eq \f((a－b)2＋2ab,a－b)＝a－b＋ eq \f(16,a－b).因为a>b，所以a－b>0，所以a－b＋ eq \f(16,a－b)≥2 eq \r((a－b)·\f(16,a－b))＝8，即 eq \f(a2＋b2,a－b)≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故 eq \f(a2＋b2,a－b)－2的最小值是6.故选A.
(2)（2024·山西临汾三模）若00，b>0，由基本不等式得4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab)，则ab≤2（当且仅当2a＝b＝2时等号成立），∴ eq \f(1,ab)≥ eq \f(1,2)，即 eq \f(1,ab)的最小值为 eq \f(1,2).故选C.
3．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨二模）已知正数x，y满足 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝1，则2xy－3x的最小值为( B )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：易知 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝1⇒2x＋y＝xy，则2xy－3x＝2(2x＋y)－3x＝(x＋2y)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝5＋ eq \f(2y,x)＋ eq \f(2x,y)≥5＋2 eq \r(\f(2y,x)·\f(2x,y))＝9，当且仅当 eq \f(2y,x)＝ eq \f(2x,y)，即x＝y＝3时取等号．故选B.
4．（5分）（2024·广东湛江二模）当x>0，y>0时， eq \f(x＋y,2)≥ eq \r(xy).这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计 eq \r(10)可以这样操作：10 eq \s\up6(\f(1,2))×9 eq \s\up6(\f(1,2))≈ eq \f(1,2)×10＋ eq \f(1,2)×9＝ eq \f(19,2)，则 eq \r(10)≈ eq \f(19,6)≈3.167.用这样的方法，可得 eq \r(3,28)的近似值为( C )
A．3.033 B．3.035
C．3.037 D．3.039
解析：依题意，28 eq \s\up6(\f(1,3))×27 eq \s\up6(\f(2,3))≈ eq \f(1,3)×28＋ eq \f(2,3)×27＝ eq \f(82,3)，则 eq \r(3,28)≈ eq \f(82,27)≈3.037.故选C.
5．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1元和a2元，则( B )
A．a1＝a2
B．a1a2
D．a1，a2的大小无法确定
解析：由题意得a1＝ eq \f(200,\f(100,m)＋\f(100,n))＝ eq \f(2mn,m＋n)，a2＝ eq \f(20(m＋n),40)＝ eq \f(m＋n,2)，因为m>0，n>0，m≠n，故 eq \f(m＋n,2)> eq \r(mn)， eq \f(2mn,m＋n)< eq \f(2mn,2\r(mn))＝ eq \r(mn)，即a10，b>0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有( AC )
A．(a＋2b)2≥8ab B． eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))≥2 eq \r(ab)
C．ab有最大值4 D． eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)有最小值9
解析：对于A，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，当且仅当a＝2b时取“＝”，A正确；对于B，当a＝b＝2时， eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))＝ eq \r(2)，2 eq \r(ab)＝4， eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))bc2，则a>b
B． eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)的最小值为2
C.∀a>b，m>0， eq \f(b,a)< eq \f(b＋m,a＋m)
D． eq \r(sin2x＋1)＋ eq \f(1,\r(sin2x＋1))的最小值为2
解析：对于A，若ac2>bc2，则a>b，故A正确；对于B， eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2或 eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≤－2，故B错误；对于C，若a>b，m>0，则 eq \f(b,a)－ eq \f(b＋m,a＋m)＝ eq \f(b(a＋m)－a(b＋m),a(a＋m))＝ eq \f(m(b－a),a(a＋m))，而m(b－a)0， eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))．
解析：∵x>0，∴ eq \f(x,x2＋3x＋1)＝ eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤ eq \f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝ eq \f(1,5)，当且仅当x＝ eq \f(1,x)，即x＝1时等号成立，∴a≥ eq \f(1,5).
10．（5分）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为6 m2.
解析：设矩形空地中仅与一块试验区相邻的一边的长为x m，则其邻边的长为 eq \f(32,x) m，依题意可得，试验区的总面积S＝(x－0.5×4) eq \f(32,x)－0.5×2＝34－x－ eq \f(64,x)≤34－2 eq \r(x·\f(64,x))＝18，当且仅当x＝ eq \f(64,x)，即x＝8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为 eq \f(18,3)＝6(m2).
11．（16分）(1)求函数y＝x＋ eq \f(8,2x－3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)))的最小值．
(2)求函数y＝ eq \r(x(4－2x))(00，所以y＝x－ eq \f(3,2)＋ eq \f(4,x－\f(3,2))＋ eq \f(3,2)≥2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))·\f(4,x－\f(3,2)))＋ eq \f(3,2)＝ eq \f(11,2)，当且仅当x－ eq \f(3,2)＝ eq \f(4,x－\f(3,2))，即x＝ eq \f(7,2)时，等号成立，故函数y＝x＋ eq \f(8,2x－3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)))的最小值为 eq \f(11,2).
(2)因为00，b>0，对于A，aex＋be－x≥2 eq \r(aex·be－x)＝2 eq \r(ab)＝2，则ab＝1，当且仅当aex＝be－x，即e2x＝ eq \f(b,a)＝ eq \f(1,a2)时取等号，此时ex＝ eq \f(1,a)，x＝－ln a，A错误；对于B，a＋b≥2 eq \r(ab)＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，B正确；对于C，2a＋2b≥2 eq \r(2a·2b)＝2 eq \r(2a＋b)≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号，C错误；对于D，ln a ln b≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln a＋ln b,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)ln (ab))) eq \s\up12(2)＝0，当且仅当a＝b＝1时取等号，D错误．故选B.
15．（6分）（多选）已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则( BD )
A．xy的取值范围是[1，9]
B．x＋y的取值范围是[2，3）
C．x＋4y的最小值是3
D．x＋2y的最小值是4 eq \r(2)－3
解析：对于A，x>0，y>0，由xy＝3－(x＋y)≤3－2 eq \r(xy)可得（ eq \r(xy)＋3）（ eq \r(xy)－1）≤0，因为 eq \r(xy)>0，所以0< eq \r(xy)≤1，则00，所以x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，又x＋y＝3－xy3，故C错误；对于D，由x＋y＋xy－3＝0得x＝ eq \f(3－y,1＋y)，所以x＋2y＝ eq \f(3－y,1＋y)＋2y＝ eq \f(4,1＋y)＋2(1＋y)－3≥2 eq \r(\f(4,1＋y)×2(1＋y))－3＝4 eq \r(2)－3，当且仅当 eq \f(4,1＋y)＝2(1＋y)，即y＝ eq \r(2)－1时，等号成立，故D正确．故选BD.