重庆市2025年初中毕业生学业水平考试科研测数学试卷（解析版）

这是一份重庆市2025年初中毕业生学业水平考试科研测数学试卷（解析版），共31页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号内．
1. 下列实数中的无理数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】A.是分数，是有理数，选项不符合题意；
B.是整数，是有理数，选项不符合题意；
C.是无理数，选项符合题意；
D.是整数，是有理数，选项不符合题意．
故选：C．
2. 围成下列几何体的各个面中，每个面都是平的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.六个面都是平面，故本选项正确；
B.侧面不是平面，故本选项错误；
C.球面不是平面，故本选项错误；
D.侧面不是平面，故本选项错误；
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.，该选项错误，不合题意；
.，该选项正确，符合题意；
.，该选项错误，不合题意；
.，该选项错误，不合题意；
故选：．
4. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】多边形的外角和是，根据题意得：
解得．
故选C．
5. 如图是三种化合物的结构式及分子式，按其规律写出第10种化合物的分子式（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】观察图形可得C右下角的数字是从1开始连续的正整数，H右下角的数字是从4开始的偶数，
∴第n个化合物的分子式为，
∴第10个化合物的分子式为，
故选：B．
6. 如图，在矩形中，是边上一点，且与相交于点，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
7. 按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】A.当，时，，
∴ ，故本选项不符合题意；
B.当，时，，
∴，故本选项符合题意；
C.当，时，，
∴，故本选项不符合题意；
D.当，时， ，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
8. 如图，线段是的直径，线段是的弦，且，点是上一点，、交于点，，若，则一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵直径，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 如图，在正方形中，点是中点，、交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图：过点作交的延长线于点，过作于点，
，
，
，
，
由题意可知：
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，则，
，
点是的中点
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
10. 已知一组单项式，其中，且为整数，均为非负整数，记：．
若，则；
若，且，则满足的实数的值有6个；
关于的多项式，若，且，则满足条件的不同多项式共有7个。
以上说法中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，而均为非负整数，
存在，所以，故不正确；
当时，有，与矛盾；
当时，有，
∴，
∴（舍）或，
当时，有，解得；
当时，有，
，解得，
，解得，
，解得，
，解得，
综上所述，满足条件的实数的值共有个，故不正确；
，且，
满足条件的值有以下情况：
满足条件的不同多项式共有种，故正确，
综上可知：正确的个数为个，故选：．
二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）
11. 国家统计局发布最新消息称，我国2024年全年国内生产总值超1349000亿元，比上年增长5.0%，将数据1349000用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】，故答案为：．
12. 如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为_____．
【答案】3
【解析】∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：3．
13. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______．
【答案】
【解析】画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种，
和是偶数的概率为，
故答案：．
14. 若关于的不等式组所有整数解的和为14，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为_____．
【答案】14
【解析】，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为，
该不等式组所有整数解的和为14，
该不等式组的整数解为或，
或，
解得或；
解分式方程，
得，
解为非负整数，
这种情况应舍去，
，即且为偶数，
由题意得，当时，；
当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
所有满足条件的整数的值为8、6，
，
所有满足条件的整数的值之和为14，
故答案为：14．
15. 如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则_____，_____．
【答案】①. 1 ②.
【解析】连接，如图；
∵点为的中点，是直径，
∴垂直平分，
，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
解得（负值不合题意，已经舍去），
；
连接，过作于点，
是的切线 ，
，
，
，
，
，
，
（同弧所对的圆周角相等），
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
由（1）知，在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：1，．
16. 对于一个四位正整数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位数字与十位数字之差大于千位数字，就称这个数为“半序数”．对于“半序数”，将其百位数字与十位数字之差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其百位数字与十位数字之差替换原来的十位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记，如：当，则，，若为最大的“半序数”，则_____．一个“半序数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为整数，且为完全平方数，则满足条件的“半序数”的最大值与最小值的差为_____.
【答案】①. 17 ②. 4414
【解析】当为最大的“半序数”时，，
，
；
当时，，
，
，
为整数，
能被3整除，
又，
，
，
又为完全平方数，
能被3整除，
或2或4，
当时，或，则或，
当时，或，则或或，
当时，（舍），
的最大值为5826，最小值为1412，
的最大值与最小值的差为4414，
故答案为：17；4414．
三、解答题（本大题共8小题，每题各10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在对应的位置上．
17. 计算．
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
（1）解：
，
，
；
（2）解：由题意得，原式，
，
，
，
为正整数且，
当时，原式
综上，原式的值为．
18. 科教兴国，科普为先．某校组织七、八年级学生参加了“科普赋能，智行未来”科普知识竞赛．现从该校七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．
八年级20名学生的成绩在组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中、、的值：_____，_____，_____；
（2）结合调查数据，请根据调查结果向学校提一个建议；
（3）该校七、八年级各有1200名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人?
（1）解：由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为，共次，
；
八年级20名学生的成绩，在组中的人数为（人），
在组中的人数为（人），
将八年级20名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的为，
；
八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人），
根据题意得，
；
故答案为：；
（2）解：建议学校借鉴八年级的高分教学经验，优化课程设计，进一步提升学生整体竞争力（合理即可）．
（3）解：（人）
答：估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有人．
19. 学习了平行四边形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，连接平行四边形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．他的解决思路是通过证明三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图和填空．
（1）如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：平行四边形中，分别平分和，连接．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
_____①_____，，．
．
又分别平分和，
，
_____②_____．
在和中
．
，_____③_____．
_____④_____．
四边形是平行四边形．
小渝进一步探究发现，如果将上述条件中的平行四边形变为矩形也有类似的结论，请完成下面的命题：连接矩形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么_____⑤_____．
（1）解：如图，为的平分线；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
又分别平分和，
，
，
在和中
，
，．
．
四边形是平行四边形．
当为矩形时，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，
又分别平分和，
，
，
在和中
，
，．
．
四边形是平行四边形．
即连接矩形一组对角顶点对应的对角线后，作另外一组对角的两条角平分线，这两条角平分线与对角线交于两点，那么这两点与这组对角顶点构成的四边形是平行四边形．
20. 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元．
（1）求每张成人票和每张儿童票分别需要多少元？
（2）金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？
（1）解：设每张成人票x元，每张儿童票y元，
根据题意，得，
解得，
答：每张成人票50元，每张儿童票40元；
（2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：正月初一该影院的电影票的单价是40元．
21. 在湿地公园内，同一平面内五个景点的道路分布如图所示．经测量，景点均在景点的正东方向，景点在景点的正北方向，景点在景点的南偏东方向且米，景点在景点的北偏西方向，景点在景点的西北方向且米．
（1）求道路的长度（结果保留根号）；
（2）若甲从景点出发沿的路径去景点，与此同时乙从景点出发，沿的路径去景点，在两人速度相同的情况下谁先到达景点?（参考数据：
解：（1）过点作于点，
则，
在中，，
，
，
在中，，
，
．
答：道路的长度为米．
（2）过点作于点，
则四边形为矩形，，
在中，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
乙的路径：米，
甲的路径：米．
，
乙先到到达景点．
22. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为线段上一点（点不与点、重合），，过点作交于点，线段的长度为的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出．分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴的周长为，的周长为，
∴；
（2）解：由（1）可得函数图象如下：
由图象可得性质为当时，随的增大而增大，随的增大而减小；
（3）解：由（2）中图象可知：当时，的取值范围为．
23. 如图，抛物线与轴相交于点、两点，交轴于点，顶点为点，点是点关于抛物线对称轴的对称点，过点作轴于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是线段上方抛物线上一点，过点．作轴交轴于点，交线段与点，当四边形的面积最大时，在线段上有一动点，在线段上有一动点，在轴上有一动点，且满足，连接，求的最小值．
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一动点，连接，当时，在平面内找到一点，使得四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出一个点的求解过程．
（1）解：∵抛物线与轴相交于点、两点，
∴
解得：
抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为．
∴对称轴为，
当时，，故，
点是点关于抛物线对称轴的对称点，
点的坐标为，
，，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
当时，有最大值，
此时点的坐标为，
，
将点向右平移个单位得到，
连接，可得四边形是平行四边形 ，

作点关于轴的对称点，连接，
当点共线时，有最小值，
此时
的最小值为．
（3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
所得新抛物线解析式为，所得新抛物线的对称轴为直线．
点为新抛物线对称轴上一动点，设点的坐标为
由题意可知， ，
方法一：过点作交于点，

则为等腰直角三角形，且．
再过点作轴于点，
过点作轴于点．易得．
，
，
，
由，可得，
解得或，
点的坐标是或．
设点的坐标为
四边形是平行四边形，
且，
，
点的坐标是或．
方法二：由（定边对定角）得，

点是在以点为圆心，以为半径的圆上．
或
点的坐标是或．
设点的坐标为，
四边形是平行四边形，
且，

点的坐标是或．
24. 在中，，，点是边上一点，点在直线上运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点落在直线上．
（1）如图1，点分别在边上，若，连接，，，求的长度；
（2）如图2，点、分别在边、上，作交于点，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明；
（3）若，点在射线（不含点）上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值．
（1）解：由题意可知，在中，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∵，
解得，
∴，，
∴；
（2）解：猜想：，
理由：以点为圆心，为半径画弧交于点，取中点，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，点为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：的值为或或．
如图1，当点与点重合时，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分，故点为的角平分线与的交点．
如图2，当时，，
，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
设，则，，，
∴，
∴，
∴，，
故；
如图3，当时，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
故；
如图4，当时，，
∴，，
过点作于点，，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
故．
综上，的值为或或．1
2
3
4
5
1
2
3
4
6
1
2
3
4
7
1
2
3
4
8
1
2
3
5
6
1
2
3
5
7
1
2
4
5
6
班级
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
87
86
10%
八年级
87
89
15%