山东省日照市校际联合2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省日照市校际联合2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，且，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因为向量，，且，
所以，即，解得.
故选：C.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由直线得其斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，
所以，所以直线的倾斜角为，
故选：D.
3. 直线过椭圆的一个焦点，则的值为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】椭圆的半焦距为，焦点为或，
直线过一个焦点 则或，∴或，
故选：C．
4. 复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，，
则，
.
故选：A.
5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A. B. 10C. D.
【答案】C
【解析】若直线平面，则，即，解得.
故选：C.
6. 已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆标准方程是，圆心为，半径为2，
直线过定点，，在圆内部，
直线与圆相交所得弦长最短时，，
，所以，
∴的方程为，即，
故选：D．
7. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：

则①，②，
在等边中，，
可得，
则，
由，则，
在中，，由余弦定理可得
，即，
由，则，解得.
故选：C.
8. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵二面角的大小为，，，
∴，
由题意得，，
，
∴，
∴，即线段的长为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为
B. 向量是直线的一个方向向量
C. 直线与直线之间的距离是
D. 圆与圆有两条公切线
【答案】BD
【解析】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为，
令解得，令解得，
因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍，
所以，解得或，
所以直线方程为或，A说法错误；
选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确；
选项C：由得，
则直线与直线之间的距离，C说法错误；
选项D：由题意圆圆心为，半径，
圆圆心为，半径，
因为，，
所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确；
故选：BD.
11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ）
A. 正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等
B. 平面截正方体所得截面面积的最大值为
C. 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
D. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
对于A：因平面与对角线垂直，所以平面的一个法向量为，
，，，
，同理,
所以直线分别与直线所成角相等，
所以直线与平面所成角也相等，
根据正方体性质可知，正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等，故A正确；
对于B：如图，点分别为棱的中点，

则正六边形为平面过正方体中心时截正方体所成图形，
由正方体性质可知，当平面由此位置向或趋近时，截面面积变小，
故截面面积最大即为正六边形的面积，
其中，所以正六边形的面积为，
故B错误；
对于C，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，

，
同理可得，故六边形周长为定值，所以C正确；
对于D，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值
即为直线与平面所成角的正弦值，
设直线与平面所成角为，
则，
设平面与平面的交线为，
因为⊥平面，平面，故⊥，
故直线与的夹角为，
故直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最大值为1，
所成角的正弦值取值范围为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则_______________.
【答案】
【解析】，则，
，，
故答案为：．
13. 已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.
【答案】
【解析】如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则点O为等边三角形ABC的中心，.
延长AO交BC于点D，连接SD，则，，
∴为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.
又在等边三角形ABC中，，
∴在中，.
14. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为__________.
【答案】
【解析】根据题意，不妨设点在第一象限，过点的垂线与的平分线交于,
连接，作图如下：
对，令，故可得，故点坐标为；
易知三角形与三角形全等，则，
由双曲线定义可得：，即，即；
在中，，
在中，由余弦定理得：；
则，整理化简可得：，，
也即，则，
解的，又，故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆过点，，圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.
解：（1）设圆的标准方程为：，
由题意可得：，解之得：，
所以圆标准方程为：；
（2）由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：.
当直线斜率不存在时，的方程为，
显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意；
当直线斜率存在时，设的方程为：，
即，
由点到直线的距离公式可得：，
解之得：或，
所以直线的方程为：或.
16. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
解：（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）知：，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，，
点到平面的距离.
17. 已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得二面角为直角（如图2）.
（1）求平面与平面所成角的余弦值；
（2）设点为线段上的动点（包含端点），直线与平面所成角为，求的取值范围.
解：（1）如图1，连接，由已知且，所以是平行四边形，
而，从而是菱形，所以，
同理是平行四边形，所以，是等边三角形，
，
图2中，，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，
，
所以面与平面所成角的余弦值为；
（2）设，，
则，
,
因为，所以，
所以．
18. 在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为.

（1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值；
（2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程；
（3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足.
证明：当时，为定值，并求出该定值.
（1）解：如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，，，
∴；
.

（2）解：由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论，
①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，
∴，化简得：，
因此，在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆.
②点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为，
化简得：，
∴点的轨迹方程为：或
（3）证明：①当直线与轴垂直时，显然不成立；
②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，，
联立方程，
，
∵，∴
代入韦达定理可得：，即
解得或，
当时， 直线经过点,故舍去
∴，则，且，
当时, 由得
当过点2,0，；当过点，.
∴点在轴的上半平面，点在轴的下半平面，
点在空间中的坐标分别为，
为定值.
19. 在平面直角坐标系中，、、、，若动点、满足，，直线与直线相交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值.
解：（1）依题意，、、、，
设点Px,y，、，
由，得，即点，
由，得，即点，
当时，直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程，消去参数得，
即，
当时，得交点，满足上述方程，
所以直线与直线交点的轨迹方程为.
（2）过点的直线可设为，
由消去得，即，
设Mx1,y1、Nx2,y2，则，，
依题意，，直线的方程为，
令，得点横坐标，
又，，
则
，
因此直线过定点，显然，
而，
令，
，
当且仅当时，即当时，即取等号，此时，
所以面积的最大值为.