山东省日照市2024-2025学年高二下学期5月期中校际联合考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省日照市2024-2025学年高二下学期5月期中校际联合考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知数列的前项和为，且，则， 记为数列的前项和，设甲， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. 4C. 2D.
【答案】C
【解析】,故选：C
2. 在等差数列中，若，则公差（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】在等差数列中，因为，
所以，求得.
故选：B
3. 已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，则.
故选：B.
4. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. 31B. 45C. 57D. 63
【答案】C
【解析】由可得，
故是以2为公比，首项为2的等比数列，
所以
，
故选：C
5. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据已知条件有，
当时，，
以上各式累加得：，
又，所以，
经检验符合上式，所以，
所以.
设数列的前项和为，
则，
所以.
故选：A
7. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得，
设过点的直线与曲线切于点，
则切线斜率为，
所以切线方程为
因为切线过点，
所以，整理得，
因为过点的切线有两条，
所以方程有两不同实根，
因此，解得或，
即实数a的取值范围是.
故选：B
8. 已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，
，，
令，显然函数在上单调递增，
而不等式为，
因此，，
令函数，求导得，
当时，，递增，
当时，，递减，
因此，于是，解得，
所以实数取值范围是.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若公差，则为递增数列
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A,由于数列为等比数列，当公比不为1时，
则，故A错误，
对于B，，则，故，所以为递增数列，B正确，
对于C,可知公差为2，首项为1，所以，C正确，
对于D , 若，则,D正确，
故选：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 的单调递增区间为
C. 的极小值为3
D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
【答案】AD
【解析】对于A，，
故，
又其定义域为R，
故为奇函数，故A正确；
对于B，，所以在上，，单调递减；
在和上，，单调递增，故B错误；
对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误；
对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解，
且在和上，单调递增；在上，单调递减，
所以，即，故D正确.
故选：AD
11.已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（ ）
A. 若，则为“回归数列”
B. 若为等比数列，则为“回归数列”
C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则
D. 对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得
【答案】ACD
【解析】对于A，由，可得，
所以必存在，
使得，故为“回归数列”，所以A正确；
对于B，由等比数列通项公式得，当时，，
显然对任意的，，故不是“回归数列”，所以B错误；
对于C，当时，，
假设总存在，则，
由于对任意的上式恒成立，不妨取，可得，存在，
再取，可得，
因为，而，所以，
当时，对任意的，由
可得总存在满足成立，所以C正确；
对于D，设等差数列，
总存在两个回归数列，
显然和是等差数列，使得，
证明如下：，
因为
所以数列{}前n项和，
可得 ，
时，由为正整数，当时，，
所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”，
因为所以数列前n项和，
由于，则存在正整数，使得，
所以是“回归数列”，所以D正确.故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为，则，
又，所以，
所以曲线在处的切线方程为．
故答案为：
13. 设数列的前项和为，且，则_______.
【答案】
【解析】由可得
，
故答案为：
14. 已知，若恒成立，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为对于恒成立，
所以对于，恒成立，
设，所以.
当时，，函数单调递增，所以，此时，
则，
当时，当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
所以.
所以,所以.
设，
所以，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以.
故，
综上可得的最大值为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记首项为1的数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）∵，
∴，
两式相减得：，
即，
∴，∴，
∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列，
∴，
∴.
当时，满足上式，∴.
（2）由（1）知，
∴，
∴，
又
即数列是以为首项，为公差的等差数列.
∴.
16. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意得，，
当时，，函数在上单调递增；
②当时，令，解得，
，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（2）因为函数在上为增函数，
所以，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，当时，，
所以，在上单调递增，．
所以，，解得，
所以，实数的取值范围为．
17. 设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项.
（1）求数列和数列通项公式；
（2）设，且数列的前项和为,若对任意的,不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1）由可得数列为等差数列，
设的公差为，的公比为，
由于是和的等比中项，
所以，
由题意可得，解得，
所以，
即
（2）由（1）可得，
所以，
，
相减可得，
而，于是为单调递增数列，即，
对任意的，不等式恒成立，得，
解得或，
故的取值范围为或.
18. 已知函数.
（1）当时，求在区间上最值；
（2）记.
（i）证明：曲线为中心对称图形；
（ii）若函数有三个零点，求的取值范围.
解：（1）因为，则，
所以，令，解得，
当，单调递减，
当，单调递增，
又因为，
所以在区间上的最大值为2，最小值为
（2）（i）令得，故的定义域为，
设是图象上任意一点，关于的对称点位，
因为在图象上，所以，
，
所以，
所以关于对称，
（ii）因为，所以2是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点，
，
由于在上单调递增，在上单调递增，
因此在上单调递增，，
若，即，此时，所以在单调递增，
由可得在没有零点，不符合题意，舍去，
若，即，，
又因为，所以存在，使得，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以时，，
时，，
当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意，
综上：
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）记方程的根为，证明：.
解：（1）的定义域为，，
令，则，
当在单调递减，当x>-1,f'x>0,fx在单调递增，
故的单调递增区间为，递减区间为.
（2）设，则，
所以关于对称，不妨研究时的图象性质.
，
令，显然时，，
下面证明时，hx>0,
，
由于时，，此时，
所以在上单调递增，则，
所以当时，均有，
因此在上单调递增，
所以，故，
（3）由题意知：且，两边取自然对数得，
先证明：时，，
设，
则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当，
故当且仅当时取等号，
故，
所以，所以1an>2n+n+1=2n+1-n，
所以n∑i=11ai>2n+1-n+n-n-1+⋯+2-1=2n+1-1.
在中，令，得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，，当且仅当时等号成立，
当时，在中，令，得，
所以时，
，
当时，，所以，得证.